Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 3/2/2012 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Martedì 7/2 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Giovedì 9/2 ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un’azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchinari tra loro uguali. Sono note le probabilità che un macchinario incorra in un guasto nel corso di un anno, in relazione alla sua età. età da 0 a 1 anno da 1 a 2 anni da 2 a 3 anni da 3 a 4 anni Prob. Guasto non grave 0.05 0.2 0.4 0.5 Prob. Guasto grave 0 0.1 0.2 0.3 Quando un macchinario è soggetto a un guasto non grave, viene riparato (in un tempo trascurabile) con una spesa pari mediamente a 500 Euro. In caso di guasto grave, il macchinario viene eliminato poiché la riparazione non è conveniente. Ogni macchinario viene comunque eliminato al compimento del quarto anno di attività, in quanto obsoleto. Una volta all’anno, inoltre, ciascun macchinario viene sottoposto a manutenzione ordinaria, con una spesa unitaria pari a 50 Euro. a) Descrivere l’evoluzione nel tempo dell’insieme dei macchinari mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui u(t) indichi il numero di nuovi macchinari acquistati e y(t) la spesa complessiva per la manutenzione (ordinaria + riparazione guasti). b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Ipotizzando che ogni anno venga acquistato un numero pari a u(t)=10 di nuovi macchinari, determinare il numero totale di macchinari in dotazione all’azienda nel lungo periodo e la corrispondente spesa complessiva per la manutenzione. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura: I blocchi A e B hanno funzione di trasferimento s s G A + = 110 ) (, ss s G B 10 11 . 0 1 ) ( + + =, il modello ingresso/uscita relativo al blocco C è dato da C C Cu y y& & 1 . 0 2= + , mentre il blocco D è descritto dalla terna di matrici [] 0 1 032 1 2 0 00 1 02 3 1 =⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = DD Dcb A . a) Discutere la stabilità del sistema aggregato. b) Determinarne il tempo di risposta. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il sistema rappresentato in figura, in cui il blocco A contiene un integratore mentre i blocchi B e C hanno, rispettivamente, funzione di trasferimento 2) 1 /( 10 ) (s s B+ = e s e s C− = ) (. a) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema. b) Determinare qualitativamente la risposta all’impulso, discutendo in particolare il tempo di risposta e l’esistenza di oscillazioni. c) Determinare la risposta all’ingresso in figura, in cui ciascuna freccia rappresenta un impulso unitario (rispettivamente positivo o negativo). ________________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Il sistema di controllo in figura ha la seguente funzione di trasferimento d’anello: ) 10 1 )( 1 () 1 ( 10 ) ( s s ss s L + ++ = τ μ a) Studiare la stabilità del sistema di controllo nel caso 1 = μ , 0 = τ , verificando che è instabile. b) Determinare una coppia τ μ, che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase di almeno 45 gradi. c) Per i valori di τ μ, proposti al punto b), determinare la banda passante del sistema di controllo; il tempo di risposta; l’errore a regime a fronte di riferimento e disturbo costante. ________________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) I due sistemi S1: ) , , (1 1 1c b A e S2: ) , , (2 2 2c b A sono asintoticamente stabili. Discutere la stabilità dei tre sistemi ottenuti aggregando S1 e S2, rispettivamente, in cascata, parallelo e retroazione, motivando i risultati. 6) Enunciare la definizione di sistema esternamente stabile. Data una funzione di trasferimento, qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in questione sia esternamente stabile? 7) In Matlab, hai digitato il comando >>M=[10 5; 0 –2] Illustra il risultato che ottieni con il comando seguente: >>poly(M) Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)