Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 8/5/20 13 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Il sistema in figura è composto da una massa sottoposta ad una forza di richiamo elastica, proporzionale (con coefficiente ) allo scostamento della massa dalla posizione , ad una forza di attrito viscoso (con coefficiente ), e ad una forza esterna . Il sistema si trova inizialmente a riposo (posizione e velocità nulle all'istante ). Nell'intervallo viene applicata la forza costante , mentre nel successivo intervallo la forza applicata è nulla. Determinare e tracciare nel piano di stato la traiettoria seguita dal sistema nell'intervallo , nei due casi e . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) La direzione di un ipermercato vuole studiare i flussi interni di clientela nel corso dell’apertura quotidiana. L’ipermercato è suddiviso in due grandi zone merceologiche , food e non -food , oltre alla zona casse . Tutti i clienti entrano obbligatoriamente dal reparto non -food , passano un numero arbitrario di volte da un reparto all’altro, ed escono infine dalle casse che sono adiacenti al reparto food . In base a campionamenti statistici, si è osservato che, mediamente, ogni minuto il 15% dei clienti della zona non -food passa nella zona food , mentre il 5% dei clienti della zona food compie il passaggio inverso. Inoltre, il 10% dei clienti della zona food termina la spesa e si mette in coda alle casse. Infine, il 20% dei clienti alle casse termina le operazioni di pagamento e lascia l’ipermercato. a) Descrivere il sistema mediante un modello di stato, in cui rappr esent i il numero di clienti che entrano nell’ipermercato nel corso del minuto , e il numero di clienti che lascia l’ipermercato. b) Studiare la stabilità del modello. c) Determinare il numero di clienti a regime nella zona casse , se nell’ipermerca to entrano 10 clienti al minuto per tutto il periodo di apertura. d) Determinare quanto tempo dopo l’apertura mattutina il numero di clienti alle casse è a regime. e) Determinare quanto tempo dopo la chiusura serale delle entrate l’ipermercato è vuoto. ___ _______________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) La dinamica di una risorsa rinnovabile è descrivibile, in assenza di sfruttamento, dall 'equazione logistica . La risorsa è sottoposta a uno sfruttamento del tipo per cui, complessivamente, la dinamica della risorsa obbedisce a . a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema in funzione di e rappresentarli nel p iano . b) Studiare la stabilità degli equilibri (non negativi) per ogni valore di . (Per entrambi i quesiti si consiglia l'utilizzo di metodi grafici). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri un sistema di ordine . Quali informazioni , riguardanti le proprietà di stabilità del sistema, si possono dedurre dalla sola conoscenza del segno (o del valore nullo) di traccia e determinante di ? 5) Un sistema a tempo discreto possiede un equilibrio . Illustrare il metodo di linearizzazione per l'analisi della stabilità di . 6) Si vuole simulare un sistema , con costante e pari a 5. Disegnare lo schema Simulink per rappresentare l'andamento nel tempo de lla variabile . Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: 4) 5) 6)