Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 2° prova parziale, 30/6 /20 14 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 5 6 5 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Si consideri il sistema in figura, in cui , . a) Determinare le funzioni di trasferimento tra e e tra e , studiandone poi la stabilità. b) Determinare a regime nelle tre situazioni seguent i ( nel caso di ingresso sinusoidale, è ammesso lasciare indicata la fase dell'uscita senza calcolarla): 1) , 2) , 3) , __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 10 1 )(   s s A 5 1 )(   s s B 1u y 2u y y 2 1 u 0 2 u 0 1 u ) 10 sin( 2 t u  20 1 u ) 10 sin(1.0 2 t u  2) Si consideri il seguente sistema a tempo discreto : a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Determinare un regolatore (legge di controllo + ricostruttore dello stato) tale che il sistema regolato, sottoposto a ingresso costante, raggiunga l’equilibrio in tempo finito. _______________________________________________ ______ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]:  1 0 1 0 3 1 1 0            c b A 3) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui a) Discutere la stabilità del sistema di controllo, determinando il valore della pulsazione critica e del margine di fase. b) Determinare (anche in modo approssimato) la banda passante ed il tempo di risposta del sistema di controllo. c) Determinare l’errore a regime quando , . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: s s C 1.0 )(  1 10 )(   s s G )( )( t sca t w  )1.0 sin(1.0 )( 5.0 )( t t sca t d   4) Al sistema raffigurato a sinistra è applicata in ingresso la sequenza di impulsi raffigurata a destra (ogni freccia rappresenta un impulso). Determinare (qualitativamente) e rappresentare graficamente l’andamento dell’uscita . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t y ATTENZIONE : per i quesiti 5) e 6) specificare la risposta corretta e MOTIVARLA (sinteticamente ma rigorosamente) rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 5) Ad un sistema lineare a tempo discreto, esternamente stabile, viene applicato un ingresso che in ogni istante è estratto casualmente nell'intervallo [ , ]. Si dica , sulla sola base di queste informazioni, quale affermazione è sicuramente vera: [1] L'uscita del sistema è limitata per ogni . [2] L'uscita del sistema è limitata se . [3] L'uscita del sistema tende a 0 per ogni qualunque sia il sistema . [4] L'uscita del sistema è illimitata per qualche . 6) Si fornisca la definizione di sistema stabilizzabile. Si precisi sotto quali condizioni un sistema è stabilizzabile. 7) Scrivere il modello ingresso/uscita (sia in forma di equazione differenziale che di funzione di trasferimento) corrispondente allo schema Simulink sotto riportato. Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: 6) )(t u 1 1 )0(x 0 )0(  x )0(x )0(x