Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 8/2/2017 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) In un’azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchine tra loro uguali. Sono note le probabilità che una macchina incorra in un guasto nel corso di un anno, in relazione alla sua età. età da 0 a 1 anno da 1 a 2 anni da 2 a 3 anni da 3 a 4 anni Prob. guasto 0 0.1 0.2 0.3 In caso di guasto, la macchina viene eliminata poiché la riparazione non è conveniente. Ogni macchina viene comunque eliminata al compimento del quarto anno di attività, in quanto obsoleta. a) Descrivere l’evoluzione nel tempo dell’insieme delle macchine mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui indichi il numero di nuove macchine acquistate e il totale di macchine in servizio. b) Studiare la stabilità del sistema, disc utendo anche il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. d) Si ipotizzi ora che l’attività di ciascuna macchina frutti un profitto annuo e che il costo per l’a cquisto di una nuova macchina sia . Modificare il modello precedente, assumendo che l’azienda spenda ogni anno per l’acquisto di nuovi macchinari esattamente la frazione del profitto ottenuto. e) Studiare la stabilità del sistema ottenuto al punto c), ponendo e . _________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui mentre sono coefficienti reali. a) Determinare, motivando adeguatamente la risposta, per quali valori della terna ( ) il sistema in figura è asintoticamente stabile. b) Determinare la funzione di trasferimento co mplessiva del sistema, esprimendola in funzione di . _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Un sistema meccanico è descritto dal seguente modello di stato, in cui rappresentano, rispettivamente posizione e velocità. a) Studiare la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità del sistema. b) Progettare un ricostruttore dello stato il cui errore di stima si annulli in circa 0.1 secondi. c) Progettare una legge di controllo che porti il sistema a regime in circa 1 secondo. d) Verificare se è possibile controllare il sistema con una retroazione diretta (static a) dall’uscita, cioè , verificando se esistono valori di per cui il sistema è asintoticamente stabile. __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Mediante una serie di esperimenti su un sistema lineare a tempo continuo, asintoticamente stabile, si sono ricavati i diagrammi di Bode (modulo e fase) riportati in figura. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati degli es perimenti. b) Determinare (in modo qualitativo) la risposta del sistema all'ingresso rappresentato nella figura seguente (la linea verticale con freccia simboleggia un impulso unitario). _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -30 -20 -10 0 10 20 Magnitude (dB) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -90 0 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 5) Con riferimento a un sistema lineare a tempo discreto, definire il guadagno, fornire la sua espressione in funzione di , discutere in quali casi non è ben definito. 6) Dato un sistema di controllo con funzione di trasferimento d'anello , enunciare il criterio di stabilità di Bode. 7) Stai studiando, con l'aiuto di Matlab, il sistema definito dalle matrici . Hai digitato i comandi >> A=[10 5; 0 –2]; >> b=[0; 1]; >> det(ctrb(A,b)) e ottieni come risultato -5 Quale conclusione puoi trarre? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: