Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

SiaAla matrice: A=2 6 6 41 2 3 4 3 1 3 4 ¡3 4 3 4 1 3 6 93 7 7 5 I pivots della matrice ridotta sono sulle prime tre colonne, quindi una base per lo spazio colonna µe costituita dalle prime tre colonne diA 2. InR4 si considerino il sottospazioVgenerato dav 1= (1;2;3;4) ev 2= (3;1;3;4) e il sottospazioWgenerato daw 1= (¡3;4;3;4) ew 2= (1;3;6;9). ² Soluzione V+Wµe lo spazio generato dai quattro vettori dati, che sono le righe della matriceA del primo esercizio. QuindiV+Wµe lo spazio riga diA, di cui abbiamo giµa determinato una base. Per la formula di Grassmann: dim(V\W) = dimV+ dimW¡dim(V+W) = 2 + 2¡3 = 1 Una base diV\Wµe costituita perciµo da un qualsiasi vettore non nullo diV\W. I conti fatti nel primo esercizio mostrano che la terza riga diA, che µew 1, µe combinazione lineare delle prime due righev 1ev 2. Quindiw 1appartiene sia aVsia aW, cioµe µe un vettore diV\W. In conclusione,fw 1gµe una base diV\W. SiaVlo spazio vettoriale delle matrici 2 x 2 a coe±cienti reali, siaB=· 1 1 6 0¸ , e sia Hl'insieme delle matrici 2 x 2 che commutano conB: H=fA2V:AB=BAg ² Come spazio vettoriale,Vsi identi¯ca conR4 , facendo corrispondere la matrice· x 1x 2 x 3x 4¸ al vettore (x 1; x 2; x 3; x 4). L'insiemeHper quanto visto sopra si identi¯ca allora col nucleo della matrice M=2 40 6¡1 0 1¡1 0¡1 6 0¡1¡63 5 RiduciamoMa scala con operazioni elementari di riga: 2 40 6¡1 0 1¡1 0¡1 6 0¡1¡63 5 !2 41¡1 0¡1 0 6¡1 0 6 0¡1¡63 5 !2 41¡1 0¡1 0 6¡1 0 0 6¡1 03 5 !2 41¡1 0¡1 0 6¡1 0 0 0 0 03 5 Trovare una base ortogonalefq 1;q 2;q 3gdiR3 tale che il sottospazio generato daq 1e q 2sia lo spazio colonna della matrice A=2 41 2a 1 0 0¡13 5 Una base di tale retta si ottiene ponendox= 1 ed µe il vettore q 3=2 41 ¡1 2a3 5 5. SiaAuna matricemxndi rangor. Supponiamo che esista un vettoreb2Rm tale che il sistema lineareAx=bammettain¯nitesoluzioni. Vero o falso: ² SiaAuna matricemxndi rangor. Supponiamo che esista un vettoreb2Rm tale che il sistema lineareAx=bnonammetta soluzione. Vero o falso: ²