Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 1Es. 2Totale Algebra lineare e GeometriaPrima Prova intermedia Ingegneria Matematica8 maggio 2014 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. 1.a) Per quali valori dihil sistema lineare 8 > < > :x 1+ x 2+ 7 x 3+ 4 x 4= 3 x1+ 2 x 2+ 11 x 3+ 6 x 4= h 2x 1+ x 2+ 10 x 3+ 6 x 4= 1 ammette soluzioni? Per tali valori si determinino le soluzioni del sistema. 1.b) DettaAla matrice dei coefficienti del sistema, si determinino dimensione e tre basi distinte dello spazio colonna Col(A) diA. 1.c) Per quali valori dihil vettoreb= [3; h;1]T appartiene a Col(A)? Per tali valori si scriva il vettore delle coordinate dibrispetto a ciascuna delle tre basi di Col(A) determinate al puntob). 2.SiaVlo spazio vettoriale dei polinomiP(x) =a+bx+cx2 +dx3 di grado minore o uguale a tre, e siaL:V!Vla funzione de nita da L(P(x)) =P(2)(1 +x3 ) + (1 +x)P′ (x): 2.a) Mostrare cheLe lineare. 2.b) Scrivere la matrice che rappresentaLrispetto alla baseB=f1; x; x2 ; x3 gdiV. Determinare il rango diLe una base del nucleo diL. 2.c) Stabilire la dimensione di Im(L)\Ker(L).