Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 1Es. 2Es. 2'Totale Algebra lineare e GeometriaPrima Prova intermedia Ingegneria Matematica27 giugno 2016 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. Per quali valori del parametro realekla matriceA k=2 42 3 3 +k 0 5kk 0k k+ 53 5:e diagona- lizzabile da una matrice reale? Per tali valori si determini una base diR3 formata da autovettori diA k 2.Si pongaA=2 6 6 42 2 1 1 2 21 1 11 1 1 1 1 1 53 7 7 5: 2.1 Si determini una matrice a scalaUottenuta con operazioni elementari sulle righe diA. Si trovi una base ortonormale di Ker(A) (ortonormale rispetto al prodotto standard diR4 ). 2.2 Si determini la proiezione ortogonale div= [1;3;1;2]T su Ker(A). 2.3(continuazione dell'esercizio due) Si spieghi perche lo spazio colonnaHdiAcoin- cide con lo spazio riga diA. SiaL:H!Hl'endomor smo diHde nito da L(v) =Av. Si determinino gli autovalori e gli autovettori diL(suggerimento: una base diHe formata dalle righe non nulle diU; si scriva la matrice diL rispetto a tale base). 2.4 Si determini una base ortonormale diR4 formata da autovettori diA(suggeri- mento: autovalori e autovettori diAsono determinati in 2.1 e 2.3). Es. 1Es. 2Es. 2'Totale Algebra lineare e GeometriaPrima Prova intermedia Ingegneria Matematica27 giugno 2016 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. Per quali valori del parametro realekla matriceA k=2 41 2 2 +k 0 3kk 0k k+ 33 5:e diagona- lizzabile da una matrice reale? Per tali valori si determini una base diR3 formata da autovettori diA k 2.Si pongaA=2 6 6 45 1 1 1 1 2 21 1 2 21 111 13 7 7 5: 2.1 Si determini una matrice a scalaUottenuta con operazioni elementari sulle righe diA. Si trovi una base ortonormale di Ker(A) (ortonormale rispetto al prodotto standard diR4 ). 2.2 Si determini la proiezione ortogonale div= [1;3;1;2]T su Ker(A). 2.3(continuazione dell'esercizio due) Si spieghi perche lo spazio colonnaHdiAcoin- cide con lo spazio riga diA. SiaL:H!Hl'endomor smo diHde nito da L(v) =Av. Si determinino gli autovalori e gli autovettori diL(suggerimento: una base diHe formata dalle righe non nulle diU; si scriva la matrice diL rispetto a tale base). 2.4 Si determini una base ortonormale diR4 formata da autovettori diA(suggeri- mento: autovalori e autovettori diAsono determinati in 2.1 e 2.3).