Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Primo appello Docente: 12 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si consideri il sistema lineare 8 > < > :2x¡y= 10 2x¡3y=¡4 x+y= 3(1) a) si veri¯chi che il sistema µe sovradeterminato. b) si scrivano le equazioni normali del sistema, e si determini la soluzione ai minimi quadrati del sistema (perch¶e µe unica?) c) si scriva la proiezione ortogonale di [10;¡4;3]T sullo spazio colonna della matrice dei coe±cienti del sistema. SiaVlo spazio vettoriale dei polinomi p(x) =a 0+a 1x+a 2x2 +a 3x3 si veri¯chi cheLµe lineare. b) si scelga una base diVe si scriva la matrice che rappresentaLrispetto a tale base diVe alla base canonica diR3 . c) si determinino una base per il nucleo e una base per l'immagine diL. d) si determini l'insieme dei polinomi di grado minore uguale a tre che soddisfano p(x) =xperx= 0,x=¡1 ex= 2. Si consideri la matrice A=2 49 2k 2 2 0 ¡2 0 23 5 a) per quali valori dikil vettore [0;1;1]T µe un autovettore diA? b) per i valori dikdeterminati nel punto precedente, si trovino una matrice ortogonale Qe una matrice diagonaleDtali cheD=QT AQ. c) sempre per i valori dikdeterminati nel puntoa), si scriva il polinomio caratteristico diA3 . d) Si determinino il valore massimo e minimo assoluto della funzione R(x; y; z) =9x2 + 4xy+ 2y2 ¡8xz+ 8z2 SiaHun sottospazio vettoriale diRn , e siaP:Rn !Rn la funzione che a un vettore v2Rn associa la sua proiezione ortogonalev Hsul sottospazioH. Si assuma cheH abbia dimensioned. Qual µe il polinomio caratteristico della matrice che rappresentaP rispetto alla base canonica? Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Primo appello Docente: 12 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si consideri il sistema lineare 8 > < > :x+y= 9 3x¡2y=¡3 x¡2y= 1(2) a) si veri¯chi che il sistema µe sovradeterminato b) si scrivano le equazioni normali del sistema, e si determini la soluzione ai minimi quadrati del sistema (perch¶e µe unica?) c) si scriva la proiezione ortogonale di [9;¡3;1]T sullo spazio colonna della matrice dei coe±cienti del sistema. SiaVlo spazio vettoriale dei polinomi p(x) =a 0+a 1x+a 2x2 +a 3x3 si veri¯chi cheLµe lineare. b) si scelga una base diVe si scriva la matrice che rappresentaLrispetto a tale base diVe alla base canonica diR3 . c) si determinino una base per il nucleo e una base per l'immagine diL. d) si determini l'insieme dei polinomi di grado minore uguale a tre che soddisfano p(x) =xperx= 0,x= 1 ex=¡2. Si consideri la matrice A=2 42¡2 0 ¡2 9k 0 2 23 5 a) per quali valori dikil vettore [1;0;1]T µe un autovettore diA? b) per i valori dikdeterminati nel punto precedente, si trovino una matrice ortogonale Qe una matrice diagonaleDtali cheD=QT AQ. c) sempre per i valori dikdeterminati nel puntoa), si scriva il polinomio caratteristico diA3 . d) Si determinino il valore massimo e minimo assoluto della funzione R(x; y; z) =8x2 ¡8xy+ 9y2 + 4yz+ 2z2 SiaHun sottospazio vettoriale diRn , e siaP:Rn !Rn la funzione che a un vettore v2Rn associa la sua proiezione ortogonalev Hsul sottospazioH. Si assuma cheH abbia dimensioned. Qual µe il polinomio caratteristico della matrice che rappresentaP rispetto alla base canonica?