Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Docente: I. Sabadini 8 febbraio 2012 Cognome: Nome: Matricola: 2[1;0;¡1]T = [¡1 2;1;¡1 2]T : Poi si normalizza.) 3. SiaVil sottospazio vettoriale diR4 generato dai vettoriv= [¡1;2;1;1]T eu= [0;¡1;0;1]T . Determinare: (a) una base per il complemento ortogonaleV? diVinR4 ; (b) la matrice di proiezionePche proiettaR4 suV; (c) il vettore diVpiµu vicino al vettorew= [1;0;1;0]T diV? . Soluzione. (a) Il sottospazioVha banalmente dimensione 2, infatti i suoi generatori sono non multipli e quindi linearmente indipendenti; quindi anche il suo complemento ortogonale avrµa dimensione 2. Per determinarlo, cerchiamo i vettori diR4 ortogonali a V:z= [t; x; y; z]T µe ortogonale aVse e solo se µe ortogonale ai vettori di una base, ovvero av,u. Se ne deducono le equazioni ¡t+ 2x+y+z= 0;¡x+z= 0: Tutti e soli i vettoriz2V? sono della formaz= [3z+y; z; y; z]T =y[1;0;1;0]T + z[3;1;0;1]T . I due generatori [1;0;1;0]T e [3;1;0;1]T sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base perV? . (b) Costruiamo la matriceAche ha per colonne i vettori di una base diV. A=2 6 6 4¡1 0 2¡1 1 0 1 13 7 7 5 La matricePcercata µe uguale aA(AT A)¡1 AT . Si ottiene A=1 132 6 6 42¡3¡2¡3 ¡3 11 3¡2 ¡2 3 2 3 ¡3¡2 3 113 7 7 5: kb 1kb 1. Normalizzando, si ottiene il vettore b 2=1