Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a)SiaB={b 1; b 2; b 3} una base diR3 e siaL:R3 →R3 l'applicazione lineare tale cheL(b 1) = 13 b 1+ 2 b 2+ 4 b 3, L(b 2) = 2 b 1+ 10 b 2+ 2 b 3, L(b 3) = 4 b 1+ 2 b 2+ 13 b 3. Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Veri care cheAe simmetrica e che= 9 e un autovalore diA. (b) Determinare una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA(suggeri- mento:AeA−9Ihanno gli stessi autovettori). (continuazione dell'esercizio 1) (c) Una matrice di proiezione ortogonale e una matrice simmetrica e idempotente (P2 =P). Determinare due matrici di proiezione ortogonaleP 1e P 2e due numeri reali 1e  2tali che I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2e P 1P 2= O. (d) Scrivere una matrice de nita positivaStale cheS2 =A. Esercizio 2 Dati i punti (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;2), (x 3; y 3) = (1 ;2) e (x 4; y 4) = (2 ;20), si determini la parabolay(x) =ax2 +bx+cche minimizza l'errore ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Dettaxla soluzione ai minimi quadrati diAx=b, si veri chi cheA xe ortogonale a b−A x. Esercizio 3 SiaAuna matrice quadrata reale di ordinen. Si supponga cheA2 =IeA̸ =I, A̸ =−I. Si mostri che (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(nell'equazioneOdenota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna diA+I(risp. diA−I) e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore= 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore=−1); (c) la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) eAe diagonalizzabile; (e) quali sono gli autovalori diA? postor=r(A+I), esprimere le molteplicita algebriche degli autovalori diAin funzione diren. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a)SiaB={b 1; b 2; b 3} una base diR3 e siaL:R3 →R3 l'applicazione lineare tale che L(b 1) = 10 b 1+ 2 b 2− 2b 3, L(b 2) = 2 b 1+ 13 b 2− 4b 3, L(b 3) = −2b 1− 4b 2+ 13 b 3. Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Veri care cheAe simmetrica e che= 9 e un autovalore diA. (b) Determinare una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA(suggeri- mento:AeA−9Ihanno gli stessi autovettori). (continuazione dell'esercizio 1) (c) Una matrice di proiezione ortogonale e una matrice simmetrica e idempotente (P2 =P). Determinare due matrici di proiezione ortogonaleP 1e P 2e due numeri reali 1e  2tali che I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2e P 1P 2= O. (d) Scrivere una matrice de nita positivaStale cheS2 =A. Esercizio 2 Dati i punti (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;2), (x 3; y 3) = (1 ;2) e (x 4; y 4) = (2 ;−20), si determini la parabolay(x) =ax2 +bx+cche minimizza l'errore ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Dettaxla soluzione ai minimi quadrati diAx=b, si veri chi cheA xe ortogonale a b−A x. Esercizio 3 SiaAuna matrice quadrata reale di ordinen. Si supponga cheA2 =IeA̸ =I, A̸ =−I. Si mostri che (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(nell'equazioneOdenota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna diA+I(risp. diA−I) e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore= 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore=−1); (c) la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) eAe diagonalizzabile; (e) quali sono gli autovalori diA? postor=r(A+I), esprimere le molteplicita algebriche degli autovalori diAin funzione diren. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a)SiaB={b 1; b 2; b 3} una base diR3 e siaL:R3 →R3 l'applicazione lineare tale che L(b 1) = 13 b 1− 4b 2− 2b 3, L(b 2) = −4b 1+ 13 b 2+ 2 b 3, L(b 3) = −2b 1+ 2 b 2+ 10 b 3. Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Veri care cheAe simmetrica e che= 9 e un autovalore diA. (b) Determinare una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA(suggeri- mento:AeA−9Ihanno gli stessi autovettori). (continuazione dell'esercizio 1) (c) Una matrice di proiezione ortogonale e una matrice simmetrica e idempotente (P2 =P). Determinare due matrici di proiezione ortogonaleP 1e P 2e due numeri reali 1e  2tali che I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2e P 1P 2= O. (d) Scrivere una matrice de nita positivaStale cheS2 =A. Esercizio 2 Dati i punti (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;−2), (x 3; y 3) = (1 ;−2) e (x 4; y 4) = (2 ;20), si determini la parabolay(x) =ax2 +bx+cche minimizza l'errore ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Dettaxla soluzione ai minimi quadrati diAx=b, si veri chi cheA xe ortogonale a b−A x. Esercizio 3 SiaAuna matrice quadrata reale di ordinen. Si supponga cheA2 =IeA̸ =I, A̸ =−I. Si mostri che (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(nell'equazioneOdenota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna diA+I(risp. diA−I) e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore= 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore=−1); (c) la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) eAe diagonalizzabile; (e) quali sono gli autovalori diA? postor=r(A+I), esprimere le molteplicita algebriche degli autovalori diAin funzione diren. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a)SiaB={b 1; b 2; b 3} una base diR3 e siaL:R3 →R3 l'applicazione lineare tale che L(b 1) = 17 b 1− 2b 2+ 2 b 3, L(b 2) = −2b 1+ 14 b 2+ 4 b 3, L(b 3) = 2 b 1+ 4 b 2+ 14 b 3. Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Veri care cheAe simmetrica e che= 18 e un autovalore diA. (b) Determinare una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA(suggeri- mento:AeA−18Ihanno gli stessi autovettori). (continuazione dell'esercizio 1) (c) Una matrice di proiezione ortogonale e una matrice simmetrica e idempotente (P2 =P). Determinare due matrici di proiezione ortogonaleP 1e P 2e due numeri reali 1e  2tali che I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2e P 1P 2= O. (d) Scrivere una matrice de nita positivaStale cheS2 =A. Esercizio 2 Dati i punti (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;−2), (x 3; y 3) = (1 ;−2) e (x 4; y 4) = (2;−20), si determini la parabolay(x) =ax2 +bx+cche minimizza l'errore ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Dettaxla soluzione ai minimi quadrati diAx=b, si veri chi cheA xe ortogonale a b−A x. Esercizio 3 SiaAuna matrice quadrata reale di ordinen. Si supponga cheA2 =IeA̸ =I, A̸ =−I. Si mostri che (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(nell'equazioneOdenota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna diA+I(risp. diA−I) e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore= 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore=−1); (c) la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) eAe diagonalizzabile; (e) quali sono gli autovalori diA? postor=r(A+I), esprimere le molteplicita algebriche degli autovalori diAin funzione diren. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate Exercise 1 (a)LetB={b 1; b 2; b 3} be a basis ofR3 and letL:R3 →R3 be the linear map de ned byL(b 1) = 17 b 1− 2b 2+2 b 3, L(b 2) = −2b 1+14 b 2+4 b 3, L(b 3) = 2 b 1+4 b 2+14 b 3. Write the matrixAthat representsLwith respect to the basisB. Verify thatA is symmetric and= 18 is an eigenvalue ofA. (b) Find an orthonormal basis ofR3 made up by eigenvectors ofA(hint:Aand A−18Ihave the same eigenvectors). (exercise 1 continued) (c) Recall that an orthogonal pro jection matrix is a symmetric matrixPsuch that P2 =P. Find two orthogonal pro jection matricesP 1e P 2and two real numbers 1and  2such that I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2and P 1P 2= O. (d) Write a symmetric positive de nite matrixSsuch thatS2 =A. Exercise 2 Given the points (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;−2), (x 3; y 3) = (1 ;−2) e (x 4; y 4) = (2;−20), use the least squares method to nd the parabolay(x) =ax2 +bx+cthat minimizes the error: ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Letxdenote the least square solution ofAx=b: verify thatA xis orthogonal to b−A x. Exercise 3 LetAbe a real square matrix of ordern. SupposeA2 =IandA̸ =I,A̸ =−I. Show that (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(hereOdenotes the zero matrix); (b) the column space ofA+I(resp. ofA−I) is contained in the eigenspace relative to the eigenvalue= 1 (resp. in the eigenspace relative to the eigenvalue=−1); (c) the identity matrixIis a linear combination of the two matricesA+IandA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) andAis diagonalizable; (e) what are the eigenvalues ofA? Letr=r(A+I). Write the algebraic and the geometric multiplicity of the eigenvalues ofAas a function ofrandn.