Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini29 Giugno 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. Dato il sistema lineare8 > < > :x +y= 2 2xy= 0 x+ 3y=1(1) (a) veri care che il sistema e sovradeterminato; (b) scrivere le equazioni normali del sistema e, dopo aver stabilito che la soluzione ai minimi quadrati del sistema e unica, determinarla; (c) determinare il vettore appartenente allo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema avente distanza minima da [2;0;1]T . Soluzione. (a) Il sistema e della formaAx=vdove A=2 41 1 21 1 33 5Ajb=2 41 1 2 21 0 1 313 5: La matriceAha due colonne lineramente indipendenti, quindi ha rango 2 mentre un facile conto mostra che il determinante della matrice completa e non nullo quindi la matrice completa ha rango 3. Per il teorema di Rouche-Capelli il sistema e sovradeter- minato. (b) Equazioni normali del sistema AT Ax=AT b ovvero[ 6 2 2 11] [ x y] =[ 1 1] : Poicher(A) = 2 la matriceAT Aha rango due quindi e invertibile e il sistema ha un'unica soluzione. Svolgendo i conti si trova che la soluzione ex 0= [13 =62;4=31]T . (c) Il vettore cercato e la proiezione ortogonalepdibsu Col(A). Si ha chep=Ax 0 ovvero p=2 41 1 21 1 33 5[ 13=62 8=62] =2 4(13 8)=62 (26 + 8)=62 (1324)=623 5=2 45 =62 34=62 11=623 5 2.SiaA=2 43 1 1 1 4 0 1 0 43 5: (a) Determinare autovalori e autovettori diA. (b) Posto⟨x;y⟩=xT Ay, mostrare che⟨x;y⟩e un prodotto scalare suR3 . (c) Descrivere la frontiera dell'intorno di raggio 1 dell'origine, con la norma indotta dal prodotto scalare appena de nito, ossia descrivere l'insieme D=fx2R3 :⟨x;x⟩= 1g: Soluzione. (a) Posto det(AI) = 0, si trova 1= 2,  2= 4 e  3= 5. In corrispondenza di= 1, si risolve il sistema lineare omogeneo avente matrice dei coefficientiAI. Gli autovettori sono della format 1v 1per t 1̸ = 0 dove e si trovano inoltre v1=2 42 =p 6 1=p 6 1=p 63 5: Analogamente, per trovare gli autovettori relativi a 2= 4 e  3= 5, si risolvono i sistemi lineari omogenei aventi matrici dei coefficientiA4IeA5Irispettivamente. Gli autovettori sono, nel primo caso della format 2v 2per t 2̸ = 0, nel secondo caso sono della format 3v 3per t 3̸ = 0 dovet 2e t 3sono non nulli e v2=2 40 1=p 2 1=p 23 5;v 3=2 41 =p 3 1=p 3 1=p 33 5: (b) Per veri care che quello assegnato e un prodotto scalare inR3 veri chiamo dapprima che e commutativo: ⟨x;y⟩=xT Ay= (xT Ay)T =yT AT x=⟨y;x⟩ dove abbiamo usato il fatto cheAe simmetrica e per ogni numero realeasi haaT =a. Proprieta di linearita: ⟨x+z;y⟩= (x+z)T Ay=xT Ay+zT Ay=⟨x;y⟩+⟨z;y⟩ per ognix;z;y2R3 ; ⟨tx;y⟩= (tx)T Ay=txT Ay=t⟨x;y⟩ per ogni per ognix;y2R3 , e per ognit2R3 . Osserviamo che la matriceAe de nita positiva in quanto i suoi autovalori sono positivi. Per de nizione di positivita, abbiamo quindi xT Ax0;perx̸ =0 ovvero⟨x;x⟩ 0;perx̸ =0: Quindi quello assegnato e un prodotto scalare inR3 . (c) Dette P=2 42 =p 6 0 1=p 3 1=p 6 1=p 2 1=p 3 1=p 61=p 2 1=p 33 5;D=2 42 0 0 0 4 0 0 0 53 5; daPT AP=D, ossiaA=PDPT , abbiamo 1 =⟨x;x⟩=xT Ax=xT PDPT x=( PT x) T D( PT x) ; postoy=PT x, cioe 2 4y 1 y2 y33 5=2 42 =p 61=p 61=p 6 0 1=p 21=p 2 1=p 3 1=p 3 1=p 33 52 4x 1 x2 x33 5; l'equazione 1 =⟨x;x⟩diventa 2y2 1+ 4 y2 2+ 5 y2 3= 1, che e l'equazione di una quadrica. Precisamente si tratta di un ellissoide (che ha semiasse maggiore di lunghezza 1=p 2 nella direzione del vettorev= [2;1;1]T ). 3. Si consideri la matriceA=2 6 6 4 1 1 1 0 1424 12 1 1 04 133 7 7 5; (a) Trovare la dimensione e una base dei sottospazi Col(A), Row(A), Row(A)? ; (b) SiaBuna matrice quadrata tale che Col(B) = Row(B). E vero che questo implica B=BT ? Dimostrare l'affermazione se e vera o esibire un controesempio se e falsa. Soluzione. (a) RiduciamoAa scala: A=2 6 6 4 1 1 1 0 1424 12 1 1 04 133 7 7 5!2 6 6 4 1 1 1 0 0314 01 2 1 04 133 7 7 5!2 6 6 4 1 1 1 0 01 2 1 0314 04 133 7 7 5 !2 6 6 4 1 1 1 0 01 2 1 0 077 0 0773 7 7 5!2 6 6 4 1 1 1 0 01 2 1 0 077 0 0 0 03 7 7 5: Poicher(A) = 3 si ha dim Col(A) = dim Row(A) = 3. Una base per Col(A) e data dalle prime tre colonne diAovvero una base eB=f[1;1;1;0]T ;[1;4;2;4]T ;[1;2;1;1]T g. Una base per Row(A) e data dalle prime tre righe diAtrasposte, poiche i vettori di R4 sono pensati come vettori colonna; quindiBe una base di Row(A); in alternati- va, si puo prendere come basef[1;1;1;0]T ;[0;1;2;1]T ;[0;0;7;7]T g. Si ha che Row(A)? = ker(A), quindi dim Row(A)? = 1 e per determinare una base risolviamo il sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti e la ridotta a scala diAdeterminata sopra. Abbiamo:8 < : x+y+z= 0 y+ 2z+t= 0 y+z= 0 da cui si ricava chex=2t,y=t,z=t. Una base per Row(A)? ef[2;1;1;1]T g. (b) L'affermazione e falsa. Ad esempio prendiamo la matrice B=[ 1 1 03] : Si har(B) = 2 quindi Row(B) = Col(B) =R2 , tuttaviaBnon e simmetrica. Una qualsiasi matriceBquadrata, di ordinenavente rangone tale che Row(B) = Col(B) = Rn anche seBnon e simmetrica. 4. SiaAuna matrice quadrata reale di ordine 2. Determinare gli autovalori diAsapendo che det(A3I) = 0, det(A+I) = 0. Determinare poi gli autovalori diAnel caso in cui det(A3I) = 0, det(A+I) = 1. Soluzione. Per de nizione, e autovalore diAse det(A I) = 0.Aha due autovalori essendo di ordine 2. Si deduce immediatamente che gli autovalori diAsono 3 e1. Nel secondo caso, abbiamo che 3 e autovalore; siakil secondo autovalore. Il polinomio caratteristico diAe della formap() = (3)(k) =2 (3 +k)+ 3k. La condizione det(A+I) = 1 si puo riscrivere comep(1) = 1. Si ottiene 1 + (3 +k) + 3k= 1 da cui k=3=4. Gli autovalori diAsono quindi 3;3=4.