Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini11 Febbraio 2016 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. SiaV=R 2[ x] lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. (a) veri care che i polinomip 1( x) =x2 3x+ 1,p 2( x) =x2 + 2,p 3( x) =4x+ 1 formano una baseBdiV; (b) veri care cheL:V!Vde nita daL(p(x)) =x2 p′′ (x) +p(0) e un'applicazione lineare; (c) scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla baseB; (d) scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonicaf1; x; x2 g. Soluzione. (a) Fissata la base (ordinata)f1; x; x2 g, i tre polinomi assegnati si possono scrivere tramite le loro coordinate inR3 , ottenendov 1= [1 ;3;1]T ,v 2= [2 ;0;1]T , v3= [1 ;4;0]T . La matricePottenuta accostando sulle colonnev 1; v 2; v 3ha rango 3 pertanto i tre vettori sono linearmente indipendenti quindi formano una base diR3 . Di conseguenza, i tre polinomi dati formano una base diV. (b) Sianop 1( x),p 2( x),p(x) polinomi inVe siat2R. Abbiamo L((p 1+ p 2)( x)) =x2 ((p 1+ p 2)′′ (x)) + (p 1+ p 2)(0) =x2 p′′ 1( x) +x2 p′′ 2( x) +p 1(0) + p 2(0) = L(p 1( x)) +L(p 2( x)); L(tp(x)) =x2 ((tp)′′ (x)) + (tp)(0) =tx2 p′′ (x)) +tp(0) =tL(p(x)); quindiLe un'applicazione lineare. (d) La matrice rappresentativaArispetto alla base canonica (ordinata)f1; x; x2 gsi trova facilmente, poiche: L(1) = 0 + 1 = 1;L(x) = 0 + 0 = 0;L(x2 ) =x2
2 + 0 = 2x2 : Si ottieneA=2 41 0 0 0 0 0 0 0 23 5: (c) La matrice rappresentativaA′ rispetto alla base (ordinata)Bsi puo determinare o esprimendo i vettoriL(p i( x)),i= 1;2;3 come combinazione lineare dei vettori diB. In alternativa, sappiamo cheA′ =P 1 AP. Con facili conti si trova P 1 =1 72 44 1 8 41 1 3 1 63 5; da cuiA′ =1 72 4 128 4 264 9 633 5: 2. SiaLl'applicazione lineare che, rispetto alla base canonica diR3 , e rappresentata dalla matrice A=2 42 0 2 0 3 0 2 0 23 5: (a) Determinare, se esiste, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA; (b) determinare il complemento ortogonale del nucleo diA; (c) stabilire se esistono valori dik2Rper i quali il vettore [k;1; k]T appartiene allo spazio immagine diL. Soluzione. Una base ortonormale diR3 formata da autovettori diAesiste percheA e reale e simmetrica. Gli autovalori diAsi calcolano ponendo det(AI) = 0. Si trovano 1= 0,  2= 4,  3= 3. Gli autovettori relativi a  1si determinano risolvendo il sistema omogeneo con matrice dei coefficienti data daA 1I =A, ovvero il sistema formato dalle due equazioni 2x+ 2z= 0,y= 0. Si ricavay= 0,z=xdunque l'au- tospazio relativo a 1e costituito dai vettori k[1;0;1]T conkreale. Analogamente si trova che l'autospazio relativo a 2e formato dai vettori h[1;0;1]T ,h2R, mentre quello relativo a 3e formato dai vettori t[0;1;0]T ,t2R. EssendoAreale simme- trica, autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, quindi basta scegliere un autovettore in ciascun autospazio e normalizzarlo. Una base ortonormale diR3 di autovettori diAe costituita daf1 p 2[ 1;0;1]T ;1 p 2[1 ;0;1]T ;[0;1;0]T g. (b) Il complemento ortogonale di ker(A) coincide con lo spazio Row(A). Dato che r(A) = 2 una base di Row(A) e data, ad esempio, daf[0;1;0]T ;[1;0;1]T g. In al- ternativa, possiamo utilizzare i calcoli svolti al punto (a) per determinare l'autospazio relativo a 1: una base per ker( A) e costituita dal vettore [1;0;1]T quindi il sot- tospazio ortogonale e dato dai vettori [x; y; z]T tali chex+z= 0. Si tratta di un piano inR3 generato daf[0;1;0]T ;[1;0;1]T g. (c) Il vettorev= [k;1; k]T appartiene allo spazio immagine diLper ognikinfatti il rango della matriceAjvvale 2 per ognik(la prima e la terza riga sono uguali) e dim(L) =r(A) = 2. 3. (a) Stabilire se le retter:x+y= 0; yz= 0 es:x+z= 1; z= 2 sono complanari o sghembe. (b) Determinare la distanza minima trareds. (c) Determinare il piano che contienere passante per il puntoA(1;0;1). Soluzione. (a) La rettarpuo essere riscritta comex=t,y=t,z=tda cui si deduce cherha la direzione del vettorev= [1;1;1]T . La rettaspuo essere riscritta come x=1,y=,z= 2 da cui si deduce cherha la direzione del vettorew= [0;1;0]T quindi le retteredsnon sono parallele; le rette non sono incidenti: il sistemax+y= 0, yz= 0,x+z= 1,z= 2 non ammette soluzione. Le rette sono quindi sghembe. (b) La distanza minima si puo calcolare in vari modi, ad esempio d(r; s) =j ⃗ P Q
(v^w)j ∥v^w∥ dovep2r,Q2s. ScegliamoPdi coordinate (0;0;0) eQdi coordinate (1;0;2) cosicche⃗ P Q= [1;0;2]T . Poiche v^w= [1;0;1]T si ricavad(r; s) =[ 1;0;2]T
[1;0;1]T p 2= 1 p 2: (c) Il piano passante perAe contentersi puo determinare, ad esempio, imponendo che contenga due punti dirad esempioPeRdi coordinate (1;1;1). L'equazione del piano e quindix+ 2yz= 0. Equivalentemente, ik piano cercato e della forma (x+y) +(yz) = 0. Imponendo il passaggio perAsi ottiene= 1 ovvero il piano x+ 2yz= 0. 4. (Usare il retro del foglio). SiaL A: Rn !Rm l'applicazione lineare associata ad una matriceA. (a) SiaBtale cheAB=I m. Stabilire se L Ae suriettiva. (b) SiaBtale cheBA=I n. Stabilire se L Ae iniettiva. Soluzione. Anzitutto osserviamo che sen=mla matriceAe quadrata. L'esistenza di un'inversa destra o sinistra equivale all'invertibilita, ovvero ar(A) =novvero equivale alla suriettivita e iniettivita diL A. Nel caso generale, abbiamo: (a) Siawun vettore qualsiasi inRm , daAB=I msi deduce ABw=w. Postov=Bw si ha quindiAv=wil che mostra cheL Ae suriettiva. (b) Siavun vettore inRn tale cheAv=0 m. Da BA=I nsi deduce BAv=vma anche, per la scelta div,B0 m= 0 m= vda cui si deduce che il nucleo diL Acontiene solo il vettore nullo e quindi e iniettiva.