Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1 (10 punti)Es. 2 (12 punti)Es. 3 (6 punti)Es. 4 (5 punti)Totale Algebra lineare e GeometriaAppello di settembre Ingegneria Matematica5 settembre 2016 Cognome:Nome:Matricola: Tutte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. Si consideri il sistema lineare8 > < > :x y=k+ 6 x+ 2y= 2k+ 5 x+ 3y=2k4 (a) Per quali valori dikil sistema ammmette soluzioni? Per tali valori trovare le soluzioni del sistema. (b) Postok= 0, trovare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. 2. Determinare il valore minimo me il valore massimoMdiq(x; y; z) = 8y2 + 3z2 + 8xy+ 2xz+ 14yzsulla sfera unitariaS=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 +z2 = 1g. Trovarev;w2Stali cheq(v) =meq(w) =M. 3. Sia Vlo spazio vettoriale delle matrici reali 44 e siaL:V!Vl'applicazione lineareL(A) =AT . (a)Si descrivano le matrici che sono autovettori diLrelativamente all'autovalore 1 e all'autovalore1. Si calcolino quindi le dimensioni degli autospazi diLrelativi agli autovalori 1 e1. (b) Esiste una base diVformata da autovettori diL? Qual e il polinomio caratteristico diL? Si giusti chi la risposta. 4. Si ricordi che una matrice quadrata Esi dice antisimmetrica seET =E. SiaEuna matrice 33 antisimmetrica a elementi reali. Mostrare che il determinante diEe uguale a zero. Dedurre quindi che esistono una matrice ortogonale Qe un numero realebtali che QT EQ=2 40 0 0 0 0b 0b03 5 (suggerimento: la prima colonna diQe un versore contenuto nel nucleo diE). Concludere che il rango diEe 0 oppure 2. Es. 1 (10 punti)Es. 2 (12 punti)Es. 3 (6 punti)Es. 4 (5 punti)Totale Algebra lineare e GeometriaAppello di settembre Ingegneria Matematica5 settembre 2016 Cognome:Nome:Matricola: Tutte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. Si consideri il sistema lineare8 > < > :x y=h6 2x+y= 52h 3x+y= 2h4 (a) Per quali valori dihil sistema ammmette soluzioni? Per tali valori trovare le soluzioni del sistema. (b) Postoh= 0, trovare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. 2. Determinare il valore minimo me il valore massimoMdiq(x; y; z) = 8x2 + 3z2 8xy14xz+ 2yzsulla sfera unitariaS=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 +z2 = 1g. Trovarev;w2Stali cheq(v) =meq(w) =M. 3. Sia Vlo spazio vettoriale delle matrici reali 33 e siaL:V!Vl'applicazione lineareL(A) =AT . (a)Si descrivano le matrici che sono autovettori diLrelativamente all'autovalore 1 e all'autovalore1. Si calcolino quindi le dimensioni degli autospazi diLrelativi agli autovalori 1 e1. (b) Esiste una base diVformata da autovettori diL? Qual e il polinomio caratteristico diL? Si giusti chi la risposta. 4. Si ricordi che una matrice quadrata Esi dice antisimmetrica seET =E. SiaEuna matrice 33 antisimmetrica a elementi reali. Mostrare che il determinante diEe uguale a zero. Dedurre quindi che esistono una matrice ortogonale Qe un numero realebtali che QT EQ=2 40 0 0 0 0b 0b03 5 (suggerimento: la prima colonna diQe un versore contenuto nel nucleo diE). Concludere che il rango diEe 0 oppure 2.