Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1 (8 punti)Es. 2 (12 punti)Es. 3 (6 punti)Es. 4 (7 punti)Totale Algebra lineare e GeometriaAppello luglio Ingegneria Matematica15 luglio 2016 Cognome:Nome:Matricola: Tutte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. SiaAuna matrice quadrata reale di ordine 3. Si supponga cheAabbia un autovalore 1= 2, che det(A) = 36 e che tr(A) = 11. (a) Si determinino gli altri due autovalori 2<  3di A. (b) Si assuma chev 1= [0 ;1;1]T ,v 2= [ 1;1;1]T ev 3= [2 ;1;1]T siano autovettori diArelativi agli autovalori 1,  2e  3rispettivamente. Si veri chi che v 1, v 2e v 3sono a due a due ortogonali in R3 , quindi si scriva la matriceA(includere i conti con cui si determinaA). SoluzioneSiccome il determinante e il prodotto degli autovalori e la traccia ne e la somma, 2 3= 18 e 2+  3= 9, da cui segue  2= 3 e  3= 6. I tre vettori dati sono a due a due ortogonali, normalizzandoli si trova una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA, per cuiAe simmetrica e per la decomposizione spettrale A=3 ∑ i=1 i ∥v i∥2v ivT i=2 45 1 1 1 3 1 1 1 33 5: 1 2. (a)Mostrare che i vettori v 1= [1 ;0;1]T ,v 2= [0 ;1;1]T ev 3= [1 ;1;3]T formano una baseBdiR3 . (b)Sia L:R3 !R3 l'applicazione lineare tale che L(v 1) =2 4 1 4 73 5;L(v 2) =2 4 4 1 73 5;L(v 3) =2 4 1 1 13 5: Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Determinare se possibile una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. SoluzioneLa matriceSche ha per colonnev 1, v 2e v 3ha determinante diverso da zero, per cui i tre vettori dati formano una baseBdiR3 , e l'applicazioneLe ben de nita. Si osservi che un vettorey2R3 ha coordinateY=S 1 yrispetto alla baseB. D'altra parte la matrice diLrispetto alla base data nel dominioR3 e alla base canonica nel codominioR3 e M=2 4 141 411 7713 5: Questo signi ca che, sevha coordinateXrispetto alla baseB, alloraL(v) ha coordinateMXrispetto alla base canonica, e quindi coordinateS 1 MXrispetto alla baseB. Quindi A=S 1 M=2 42 1 1 1 21 11 13 5:2 4 141 411 7713 5=2 41 22 2 12 22 13 5: Ho omesso il calcolo della matriceS 1 (algoritmo di Gauss-Jordan). Alternativamente, si poteva costruire la matriceAdirettamente: la colonnaidiAe il vettore delle coordinate diL(v i) rispetto alla base B, cioe la soluzione del sistema lineare Sx=L(v i) La matriceAe simmetrica per cui e possibile trovare la base ortonormale richiesta. Il polinomio carat- teristico diAe(3)2 (+ 3), per cuiAha un autovalore doppio 1= 3, il cui autospazio e il piano di equazionex+y+z= 0, e un autovalore semplice 2= 3, il cui autospazio e la retta per l'origine ortogonale al primo autospazio. Una base ortonormale diR3 formata da autovettori diAe per esempio 8 < :1 p 22 41 1 03 5;1 p 62 41 1 23 5;1 p 32 41 1 13 59 = ; 2 3. In R3 siaC kla conica ottenuta proiettando ortogonalmente sul piano xyl'intersezione del cono di equazione z2 =x2 +y2 con il piano di equazionez=k(xy2): l'equazione diC ksi ottiene mettendo a sistema le equazioni del cono e del piano ed eliminandoz. Si calcolino gli invariantiI 1, I 2e I 3della conica C ke si riconosca la conicaC kal variare del parametro knell'insieme dei numeri reali. SoluzioneL'equazione della conicaC ke k2 (xy2)2 =x2 +y2 : Postoa=k2 0 riscriviamo l'equazione in forma normale: (a1)x2 + (a1)y2 2axy4ax+ 4ay+ 4a= 0 La matrice associata all'equazione della conica eB=2 4a 1a2a a a1 2a 2a2a4a3 5 da cui si ricavaI 3= 4 a= 4k2 ,I 2= 1 2k2 eI 1= 2( k2 1). La conica e degenere solo perk= 0 (in tal caso la conica ha equazionex2 +y2 = 0, si tratta di una coppia di rette immaginarie il cui unico punto reale e l'origine (0;0). Dal valore diI 2si deduce che la conica e un'iperbole se jkj>1=p 2, una parabola sejkj= 1=p 2, e un'ellisse se 0