Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1 (8 punti)Es. 2 (8 punti)Es. 3 (8 punti)Es. 4 (9 punti)Totale Algebra lineare e GeometriaProva scritta di febbraio Ingegneria Matematica1 febbraio 2017 Cognome:Nome:Matricola: Tutte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. PostoA=[ 111 0 414 2] eH= Ker(A), determinare se possibile una base ortogonalefb 1; b 2; b 3; b 4g diR4 tale cheb 1e b 2appartengano a H, la seconda componente dib 1sia nulla e l'ultima componente di b 3sia nulla. 2. Si scriva la matrice simmetrica reale 3 3Acon le seguenti proprieta: gli autovalori diAsono 1= 3 e  2= 6, l'autospazio relativo all'autovalore 1= 3 e generato dall'autovettore v= [1;1;1]T . 3. Sia Vlo spazio dei polinomi reali di grado3, e siaL:V!R3 l'applicazione lineare de nita da L(P(x)) =2 4P (1) P(1) P(2)3 5 Si scriva la matriceAche rappresentaLrispetto alla basef1; x; x2 ; x3 gdiVe alla base canonica diR3 , quindi si determinino basi del nucleo e dell'immagine dell'applicazione lineareM:R4 !R4 rappresentata dalla matrice AT Arispetto alle basi canoniche (suggerimento: non e necessario calcolare la matriceAT A). 4. Sia A=2 40 1 2 1 02 2 2 03 5. Si determini una base diC3 formata da autovettori diA, e una matrice unitariaUtale cheU 1 AUsia diagonale. Es. 1 (8 punti)Es. 2 (8 punti)Es. 3 (8 punti)Es. 4 (9 punti)Totale Algebra lineare e GeometriaProva scritta di febbraio Ingegneria Matematica1 febbraio 2017 Cognome:Nome:Matricola: Tutte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. PostoA=[ 111 0 3 03 2] eH= Ker(A), determinare se possibile una base ortogonalefb 1; b 2; b 3; b 4g diR4 tale cheb 1e b 2appartengano a H, la seconda componente dib 1sia nulla e l'ultima componente di b 3sia nulla. 2. Si scriva la matrice simmetrica reale 3 3Acon le seguenti proprieta: gli autovalori diAsono 1= 6 e  2= 3, l'autospazio relativo all'autovalore 1= 6 e generato dall'autovettore v= [1;1;1]T . 3. Sia Vlo spazio dei polinomi reali di grado3, e siaL:V!R3 l'applicazione lineare de nita da L(P(x)) =2 4P (1) P(1) P(2)3 5 Si scriva la matriceAche rappresentaLrispetto alla basef1; x; x2 ; x3 gdiVe alla base canonica diR3 , quindi si determinino basi del nucleo e dell'immagine dell'applicazione lineareM:R4 !R4 rappresentata dalla matrice AT Arispetto alle basi canoniche (suggerimento: non e necessario calcolare la matriceAT A). 4. Sia A=2 40 1 2 1 02 2 2 03 5. Si determini una base diC3 formata da autovettori diA, e una matrice unitariaUtale cheU 1 AUsia diagonale.