Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale 2a Prova intermedia Docente: I. Sabadini 5 Luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: 2v¡1 3w´ = 3v¡w: Per determinare tutti i vettorixtali cheAx= 3v¡wbasta aggiungere al vettore trovato un elemento del nucleo diA, ovvero x=¡3 2v¡1 3w+ku; k2R: (c) i vettori colonnabper cui il sistemaAx=bha soluzione appartengono a Col(A) e quindi sono del tipob=kv+hwal variare dik; hinR. Il sistema, quando risolubile, non ammette unica soluzione in quantor(A) = 2 e le soluzioni sono11 . 2. SiaAuna matrice reale e simmetrica di ordine 3 con autovalori 0;3;¡2 e siano, rispettivamente,u;v;wautovettori unitari ad essi associati. (a) Determinare il nucleo, lo spazio colonna e lo spazio riga della matriceA, in termini diu;v;w; 3v+1 2w´ = 2v¡w: Per determinare tutti i vettorixtali cheAx= 2v¡wbasta aggiungere al vettore trovato un elemento del nucleo diA, ovvero x=2 3v+1 2w+ku; k2R: (c) i vettori colonnabper cui il sistemaAx=bha soluzione appartengono a Col(A) e quindi sono del tipob=kv+hwal variare dik; hinR. Il sistema, quando risolubile, non ammette unica soluzione in quantor(A) = 2 e le soluzioni sono11 . 3. Si consideri il sistema lineare 8 > < > :x¡2y= 4 x¡y=¡2 x+y= 1(1) (a) veri¯care che il sistema µe sovradeterminato; (b) determinare la soluzione ai minimi quadrati del sistema e stabilire se µe unica; (c) dettaAla matrice dei coe±cienti del sistema, determinare il vettore di Col(A) piµu vicino a [4;¡2;1]T . Soluzione. (a) Un facile calcolo mostra cher(A) = 2 mentre, indicato conbil vettore dei termini noti, il rango della matrice completaAjbrisulta essere 3. Pertanto il sistema µe sovradeterminato. (b) Le equazioni normali del sistema sono date daAT Ax=AT b, dove AT A=· 3¡2 ¡2 6¸ AT b=· 3 ¡5¸ : Risolvendo il sistema lineare ( 3x¡2y= 3 ¡2x+ 6y=¡5(2) si trova la soluzione ai minimi quadrati^x= [8=14;¡9=14]T che µe unica dato che il rango della matrice quadrataAT Avale 2. (c) Il vettore cercato µe [26=14;17=14;¡1=14]T e corrisponde alla proiezione ortogonale del vettore dato sullo spazio colonna Col(A); si trova calcolandoA^x=A(AT A)¡1 AT b.