Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica30 giugno 2014 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. Si stabilisca per quali valori del parametro realekla matrice A=2 4 1k3 0 8 0 93 113 5 e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matriceStale cheS 1 ASe una matrice diagonaleD, e si scriva la matriceD. 2.Si considerino le forme quadratiche nella variabilix; y: q0( x; y) =x2 + 4xy+ 5y2 ; q(x; y) = 2x2 + 4xyy2 2.a) Mostrare cheq 0e de nita positiva. 2.b) Riconoscere la conica di equazioneq(x; y) = 1 e determinare le equazioni degli assi di simmetria di tale conica. 2.c) Si determini una matricePtale che il cambiamento di variabili [x; y]T =P[X; Y]T diagonalizzi simultaneamente le forme quadraticheq 0( x; y) eq(x; y), eq 0( x; y) = X2 +Y2 . Si determinino, al variare di (x; y) inR2 n f(0;0)g, il valore massimo e il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y) =q (x; y) q0( x; y) 3.Spiegare perche esiste un'unica matrice 44 simmetrica realeAcon le seguenti proprieta  il rango diAe 2;  = 3 e un autovalore diA, e l'autospazio relativo a tale autovalore e il sottospazio diR4 generato dai vettoriv 1= [1 ;1;1;0]T ev 2= [1 ;2;0;1]T . ScrivereAe la matrice 44 della proiezione ortogonale sul sottospazio Ker(A) diR4 . Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica30 giugno 2014 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. Si stabilisca per quali valori del parametro realekla matrice A=2 4 53 3 0 4 0 9k73 5 e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matriceStale cheS 1 ASe una matrice diagonaleD, e si scriva la matriceD. 2.Si considerino le forme quadratiche nella variabilix; y: q0( x; y) = 5x2 4xy+y2 ; q(x; y) =x2 + 4xy2y2 2.a) Mostrare cheq 0e de nita positiva. 2.b) Riconoscere la conica di equazioneq(x; y) = 1 e determinare le equazioni degli assi di simmetria di tale conica. 2.c) Si determini una matricePtale che il cambiamento di variabili [x; y]T =P[X; Y]T diagonalizzi simultaneamente le forme quadraticheq 0( x; y) eq(x; y), eq 0( x; y) = X2 +Y2 . Si determinino, al variare di (x; y) inR2 n f(0;0)g, il valore massimo e il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y) =q (x; y) q0( x; y) 3.Spiegare perche esiste un'unica matrice 44 simmetrica realeAcon le seguenti proprieta  il rango diAe 2;  = 3 e un autovalore diA, e l'autospazio relativo a tale autovalore e il sottospazio diR4 generato dai vettoriv 1= [1 ;0;1;1]T ev 2= [1 ;1;2;0]T . ScrivereAe la matrice 44 della proiezione ortogonale sul sottospazio Ker(A) diR4 . Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaSeconda Prova intermedia Ingegneria Matematica30 giugno 2014 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusti cate 1. For which values of the real parameterkis the matrix A=2 4 53 3 0 4 0 9k73 5 diagonalizable? For such values nd a matrixSsuch thatS 1 ASis a diagonal matrix D; writeD. 2.Consider the quadratic forms in the variablesxandy: q0( x; y) = 5x2 4xy+y2 ; q(x; y) =x2 + 4xy2y2 2.a) Showq 0is positive de nite. 2.b) Recognize the conic of equationq(x; y) = 1 and write the equations of the axes of symmetry of the conic. 2.c) Determine a matrixPsuch that the change of variables [x; y]T =P[X; Y]T si- multaneously diagonalizes the quadratic formsq 0( x; y) andq(x; y) andq 0( x; y) = X2 +Y2 . Compute, as (x; y) varies inR2 nf(0;0)g, the maximum and the minimum of the Rayleigh quotient R(x; y) =q (x; y) q0( x; y) 3.Explain why there is a unique 44 real symmetric matrixAwith the following properties:  the rank ofAis 2;  = 3 is an eigenvalue ofA, and the corresponding eigenspace is the subspace of R4 generated by the vectorsv 1= [1 ;0;1;1]T ev 2= [1 ;1;2;0]T . WriteAand the 44 matrix of the orthogonal pro jection onto the subspace Ker(A) ofR4 .