Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 8 settembre 2015 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Dimostrare che la trasformata di Fourier di una funzione diL1 (Rn ) e continua. Esercizio 1. CalcolareZ sin(2 z)z 2 (z2)dz; dove e la seguente linea:-6 r z = 2 HHj    H Hj66 Soluzione : Dettafla funzione integranda, si ha Resff ; z= 0g=1;Resff ; z= 2g=14 sin 4 ; dunque (tenendo conto del verso di percorrenza di ): Z sin(2 z)z 2 (z1)dz = 2ih Resff ; z= 2g Resff ; z= 0gi =4 + sin 42 i: Esercizio 2. Data la funzionef(x),-periodica, dispari, tale chef(x) =x2 perx2[0;2 ) e f(2 ) = 0, a)disegnare il gra co difnell'intervallo [2;2], e (motivando la risposta) spiegare perchefe sviluppabile in serie di Fourier; b)scrivere la serie di Fourier associata af; c)la serie ottenuta converge in media quadratica af? Converge puntualmente? Converge uniformemente? Soluzione: a)-6 x y qq qq 2  2 24  24 f 2L2 (0; ), dunque e sviluppabile in serie di Fourier. b)fe dispari, dunquea n= 0 per ogni n, per quanto riguardab n(usando la simmetria di f): bn=2= 2Z =2 0x 2 sin(2nx)dx=4 (  12 nx 2 cos(2nx) =2 0+ 22 nZ =2 0x cos(2nx)dx) =4 (  28 ncos( n) + 12 n2x sin(2nx) =2 0 12 n2Z =2 0sin(2 nx)dx) =4 (  2 cos(n)8 n+ 14 n3cos(2 nx) =2 0) =4   2 cos(n)8 n+ cos( n)14 n3 =12 n3 (2n2 2 )(1)n 2 pertantof(x) =+ 1 X n=112 n3 (2n2 2 )(1)n 2 sin(2nx): c)f2L2 (0; ), pertanto la serie converge in media quadratica af; poiche inoltre in corrispon- denza dei punti di discontinuitaf(x) = 0, e la serie converge al punto medio del salto (cioe ancora zero), la serie converge puntualmente af(x) per ognix2R; in ne, la serie e composta da funzioni continue, tuttavia converge a una funzione non continua, questo basta a garantire che non vi sia convergenza uniforme. Esercizio 3. Determinare la soluzione Laplace-trasformabile dell'equazione 2y(t) +y0 (t) = 2Z t 0y () sin(t)d+ 3 cost soddisfacente la condizioney(0) = 1. Soluzione: Trasformando, si trova 2Y+sY1 = 2Y11 + s2+3 s1 + s2; riordinando:Y(s) =1 + 3 s+s2s (1 + 2s+s2 )= 1s + 1(1 + s)2; dunquey(t) = [1 +te t ]H(t): Esercizio 4. Data la successione di funzionif n: R+ !Rcos de nite: fn( x) =xn e nx ; a)calcolare il limite puntualefdiff ng ; b)stabilire1 , al variare dim2N, se fnL m (R+ ) !f; c)stabilire se fnL 1 (R+ ) !f :1 Puo essere utile ricordare che8k2N Z+1 0x k e x dx= (k1)! Soluzione : a)Poiche per ognix0 si ha lim n!+1x n e nx = 0; la successione di funzioni tende alla funzione identicamente nulla per ognix0. b)Anchef nL m (R+ ) !foccorre chekf n fk Lm (R+ )! 0 pern!+1,fe la funzione identicamente nulla, dunquekf n fk=kf nk ; ora kf nkm Lm (R+ )=Z +1 0( xn e nx )m dx=Z +1 0x mn e nmx dx postonmx=y, ondedx=1mn dy =Z +1 0 ymn  mn e y1mn dy =1( mn)mn +1Z +1 0y mn e y dy =( mn1)!( mn)mn +1=( mn)!( mn)mn +2n !+1 ( mn)mn e mnp2 mn( mn)mn +2=p2 e mn (mn)5 =2n !+1 !0 dunquefnL m (R+ ) !f ;8m2N+ : c)Osservato che lef nsono positive e continue su R+ , e suciente mostrare che maxf n( x)!0: ognif nha il massimo assoluto in x= 1, inoltref n(1) = ne n , e quest'ultima espressione e in nitesima pern!+1.