Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 1 settembre 2016 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Enunciare e dimostrare la relazione che sussiste tra la normaL2 (Rn ) di una funzione e la normaL2 (Rn ) della sua trasformata di Fourier (Teorema di Plancherel). Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni de nita da fn( x) = n en (x1) sex1 0 sex >1: (i) Determinare il limite puntuale della successioneff ng suR. (ii) Per ognip2[1;1] calcolare lim n!1k f nk Lp (R). (iii) Determinare il limite nel senso delle distribuzioni diff ng . Soluzione: (i) Il limite puntuale e 0 sex6 = 1 ed e +1sex= 1. (ii) Si ha kf nk Lp (R)=n 1 1=pp 1 =p8 n2N;8p2[1;1);kf nk L1 (R)= n : Pertanto:kf nk L1 (R)= 1 per ogni nmentrekf nk Lp (R)! +1per ognip >1. (iii) Dopo un'integrazione per parti, per il Teorema di Lebesgue abbiamo cheZ Rf n( x)(x)dx=nZ 1 1e n (x1) (x)dx=Z 1 1e n (x1) 0 (x)dx+h en (x1) (x)i 1 1! (1) per ognia supporto compatto inR. Pertanto,f n!  x=1nel senso delle distribuzioni. Esercizio 2. Si consideri la funzione di variabile complessa f(z) =14 + z2: (i) Trovare e classi care i punti singolari (al nito) dife scrivere la serie di Laurent centrata in tali punti. (ii) Determinare il residuo difall'in nito. (iii) Per ognix 02 R, determinare il raggio di convergenza della serie di Taylor centrata inx 0della funzione analitica di variabile reale f(x) =14 + x2: Soluzione: (i) I punti singolari sonoz=2i, entrambi poli del prim'ordine. Inz= 2isi ha f(z) =1( z+ 2i)(z2i)= 1z 2i14 i+ (z2i)= 1z 2i14 i11 + z 2i4 i =1z 2i14 i1 X n=0( 1)n(4 i)n( z2i)n =1 X n=1( 1)n +1(4 i)n +2( z2i)n : Analogamente, in z=2isi trova f(z) =1( z+ 2i)(z2i)= 1z + 2i1 4i+ (z+ 2i)= 1z + 2i14 i11 z +2i4 i =1z + 2i14 i1 X n=01(4 i)n( z+ 2i)n =1 X n=1( z+ 2i)n(4 i)n +2: (ii) Siccome1e uno zero del second'ordine perf, risulta Res(f ;1) = 0. Questo si poteva anche ottenere osservando che i due residui in2isono opposti e applicare il Teorema dei residui. (iii) Dato che l'asse reale e anche l'asse del segmento di estremiz= 2iez=2i, si tratta di calcolare la distanza dal centro dello sviluppo da tali punti. Pertanto, il raggio di convergenza cercato eR(x 0) =p4 + x2 0. Esercizio 3. Determinare le singolarita della funzione di variabile complessaf(z) =1cosh z. Con metodi di analisi complessa, calcolare la trasformata di Fourier della funzione realef(x) =1cosh x (si consiglia di integrare su una successione di rettangoli contenenti una sola singolarita della funzione). Soluzione: La funzione di variabile complessag(z) =e izcosh zha dei poli semplici dove cosh z= 0 e cioe inz=i=2 +kiperk2Z(anche per= 0!). Integriamo tale funzione sul rettangolo R di verticiR,R,R+i,R+iin modo tale che l'unico polo interno siaz=i=2. Il residuo digin tale punto valei e= 2 . Per il teorema dei residui, si ha 2 e= 2 =Z Rg (z)dz=Z R Re ixcosh xdx Z R Re i(x+i)cosh( x+i)dx +"(R);() dove"(R) e il contributo sui due lati verticali che adesso dimostriamo essere in nitesimo per R! 1. Infatti, sez=R+it, si ha: jg(R+it)j= e i(R+it)cosh( R+it) =2 je i(R+it) jj eR +it +e Rit j 2 ete R e R! 0 perR! 1: Siccome la lunghezza del lato verticale e sempre, l'integrale su questo lato tende a 0 perR! 1. Analogamente, si procede quandoz=R+it. In conclusione, poiche cosh(x+i) =cosh(x), dalla (*) deduciamo che 2 e= 2 =Z R Re ixcosh xdx +eZ R Re ixcosh xdx +o(1) perR! 1: Passando al limite perR! 1, si ottiene F 1cosh x;  =cosh( =2): Esercizio 4. Si consideri la funzione de nita da f(x) = 2 x2 sex2[; ) 2periodica: a) disegnare il gra co difsull'intervallo [2;2]. b) determinare la serie di Fourier associata afe stabilirne il limite puntuale; la convergenza e anche uniforme? c) usando il risultato ottenuto in b), calcolare1 X n=1( 1)n +1n 2. Soluzione : La funzionefe pari. Quindib n= 0 per ogni n. Inoltre: a0=2 Z  0( 2 x2 )dx=4 23 ; a n=2 Z  0( 2 x2 ) cos(nx)dx= (1)n +14n 2( n1): Quindi,f(x)2 23 + 41 X n=1( 1)n +1n 2cos( nx): La funzionefe continua e monotona a tratti. Quindi, la serie di Fourier trovata converge puntualmente af(x) per ognix2R. Convergenza uniforme (anzi totale) percheja nj  1=n2 . c) Inx= 0 la serie di Fourier converge af(0). Pertanto, 2 =f(0) =2 23 + 41 X n=1( 1)n +1n 2= )1 X n=1( 1)n +1n 2= 212 :