Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 30 gennaio 2017 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Enunciare (bene!) e dimostrare il teorema riguardante la trasformata di Fourier di una convoluzione Esercizio 1. Determinare la soluzione della seguente equazione dierenziale: y00 + 2y0 +y=e t [1;2]( t); y(0) =y0 (0) = 0: Soluzione: Usiamo la trasformata di Laplace, osserviamo innanzitutto che Lfe t [1;2]( t)g=Z 2 1e (s+1)t dt=e (s+1) e 2(s+1)s + 1= 1e e ss + 1 1e 2e 2ss + 1; quindi trasformando l'equazione di partenza, otteniamo s2 Y+ 2sY+Y=1e e ss + 1 1e 2e 2ss + 1) Y(s) =1e e s( s+ 1)31e 2e 2s( s+ 1)3: Per le proprieta della trasformata di Laplace, osserviamo che L 1 1s 3 =12 t 2 H(t);) L 1 1( s+ 1)3 =12 e t t2 H(t); ricordando inoltre cheLff(ta)g=e as F(s) otteniamo y(t) =1e L 1 e s( s+ 1)3 1e 2L 1 e 2s( s+ 1)3 =12 ee (t1) (t1)2 H(t1)12 e2e (t2) (t2)2 H(t2) =e t2  (t1)2 H(t1)(t2)2 H(t2) N.B.: Allo stesso risultato si poteva pervenire, senza trasformare il termine noto, osservando che Y(s) =1( s+ 1)2
Lf e t [1;2]( t)g=LftH(t)g
Lfe t [1;2]( t)g e ricavandoy(t) tramite una convoluzione. Esercizio 2. Si consideri la funzione 2-periodica, dispari, tale chef(x) =x2 sex2[0; ) ef() = 0. (i) Disegnare il gra co difsull'intervallo [2;4]. (ii) Calcolare i coecienti di Fourier dif. (iii) Discutere la convergenza (puntuale, media quadratica, uniforme) della serie di Fourier determinata al punto precedente. Soluzione: Il gra co richiesto e-6 x y rrr 2  2 3 4  2 2La funzione e dispari, dunque a n= 0 per ogni n, mentre, per simmetria: bn=2 Z  0x 2 sinnx dx=2n 3 (1)n (22 n2 )2
=( 2 n n pari 8n 3 2 n n dispari; La serie converge alla funzione in media quadratica; poichefnon e continua, non vi e convergenza uniforme (e, a maggior ragione, non vi e nemmeno convergenza totale). Per quanto riguarda la convergenza puntuale, osserviamo chefe continua a tratti, ove e continua e anche derivabile, e inx= (2k+ 1)(punti di discontinuita di prima specie) esistono niti i limiti sinistro e destro dif0 , pertanto: dovefe continua, la serie converge af, inx= (2k+ 1)la serie converge a 0, punto medio del salto, ma poichef((2k+ 1)) = 0 la serie converge puntualmente alla funzione fper ognix2R. Esercizio 3. Calcolare per ogni2(0;1) I=Z +1 1e xCh xdx: Soluzione: Per calcolare l'integrale, serviamoci delle tecniche di analisi complessa: la funzione f( z) =e zCh z ha in niti poli del primo ordine in corrispondenza dei puntiz k=2 + k, conk2Z, calcoliamo dunque l'integrale dif ( z) lungo il percorso Rcos de nito:-6 R Ri 1 3 2 4- 6? osserviamo che per il teorema dei residui Z Rf ( z)dz=Z 1+Z 2+Z 3+Z 4= 2 iResn f( z); z=i2 o = 2ie i 2 Sh i2 = 2 ei 2 d'altra parte, osserviamo che sul segmento inferioref ( z) =f ( x), quindi Z 1f ( z)dz=Z R Rf ( x)dx; mentre sul segmento superiore f( z) =f ( x+i) =e  (x+i)Ch( x+i)= ei f( x); pertantoZ 3f ( z)dz=Z R Rf ( x+i)dx=eiZ R Rf ( x)dx; per quanto riguarda i lati verticali, osserviamo che (maggiorando il valore assoluto di un integrale con il massimo del modulo della funzione integranda, moltiplicato per la lunghezza del cammino d'integrazione) Z 2f ( z)dz = iZ  0e R +iyCh( R+iy)dy Z  0 e R +iyCh( R+iy) dy e Re R + 1R !+1 !0 In de nitiva2ei 2 =Z Rf ( z)dz= 1 +ei Z R Rf ( x)dx+Z 2+Z 4 |{z} R!+1 !0 passando al limite perR!+1si trova I=2 ei 2 1 + ei= 2e i 2 +e i2 = cos 2 : Esercizio 4. Siag(x) =e x H(x), data la successione di funzionif n( x) =g(x) [0;n]( x), (i) determinarne il limite puntualef(x), (ii) stabilire sef n! finLp (R), perp2[1:+1], (iii) stabilire in ne il limite della successioneff ng inD0 (R) e inS0 (R). Soluzione: Osserviamo innanzitutto che fn( x) =Z n 0e t x H(xt)dt=8 > < > :0 x n ; quindif nD 0 !f; presa in ne2 S(R) si ha lim n!+1h ff n;  i= lim n!+1Z +1 n[ f(x)f n( x)](x)dx in questo secondo limite, usiamo il teorema della convergenza dominata, infatti per ognix2R [f(x)f n( x)](x)  j(x)j 2L1 (R); e dunquelim n!+1h ff n;  i=Z +1 n lim n!+1[ f(x)f n( x)](x) dx= 0: quindif nS 0 !f.