Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Domande di Analisi 3 - 3 luglio 2020 L'integraleZ 1 0dx( x2 + 1)2vale (X)4 2 8  Siaf(t) una funzione continua eT-periodica (T >0) e siaHla funzione di Heaviside; allora la trasformata di Laplace diH(t)f(t) si puo scrivere come (X)e T se T s 1Z T 0e st f(t)dte T se T s + 1Z T 0e st f(t)dte T se T s 1Z T 0e st f(t)dte T se T s + 1Z T 0e st f(t)dt Siaa 02 +1 X n=1 ancos nx+b nsin nx
la serie di Fourier della funzionef(x) =jsinxjsuR;allora1 X n=1( a2 n+ b2 n) = (X)18 21 +8 218 2 La trasformata di Fourier della funzionef(x) =11 + x4e (X)p 2 e j j=p2  cosp 2 +sinj jp 2  p 2 e j j=p2  cosp 2 +sinj jp 2  p 2 e j j=p2  cosp 2 +sin p 2  p 2 e j j=p2  cosp 2 +sin p 2  Fissatoh >0, sia(x) la funzione caratteristica dell'intervallo h2 ;h2  , siaf(x) = (x)h . Allora, ff(x) = (X)8 < :h jxjh 2 se jxj h 0 sejxj> h8 < :h jxjh se jxj h 0 sejxj> h8 < :j xjhh 2 se jxj h 0 sejxj> h8 < :j xjhh se jxj h 0 sejxj> h Un'armonica coniugata diu(x; y) =x+ex sinye data da (X)yex cosy y+ex cosyyex cosyy+ex cosy L'integraleZ   sin1z i 2 +z3 cos2z  dz, ove e la circonferenza di raggio 2, centrata inz=i, vale: (X)43 i 23 i 43 i 23 i La trasformata di Fourier di 2x(1 + x2 )2e (X)iej j iej ji2 e j j i2 e j j Siaun numero reale positivo, la trasformata di Laplace dif(t) =tsin(t) vale (X)F(s) =2 s( 2 +s2 )2F (s) = 2 s2( 2 +s2 )2F (s) =s 2 2( 2 +s2 )2F (s) =s( 2 +s2 )2 La scrittura 2i individua in niti punti del piano complesso che appartengono a quale luogo geometrico? (X)una retta passante perz= 0 una circonferenza centrata inz= 0 una retta verticale una retta orizzontale Sia >0, consideriamo la successione di funzionif n( x) =n e njxj , allora (X)per ogni >0,f nD 0 (0;10) !0 se=12 , allora f nL 2 (R) !0 se= 1,f nD 0 (R) ! 0per ogni  >0,ff ng tende uniformemente af0 Siau(x) l'unica soluzioneF-trasformabile dell'equazione dierenzialeu00 (x)u(x) =11 + x2, allora (X)u2L2 (R)u2 S(R)u62 C2 (R)ue una funzione dispari