Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 27 agosto 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4 TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria.Enunciare e dimostrare il Teorema di Weierstrass per le funzioni olomorfe. Esercizio 1.Si consideri la funzione f(x) =e j xj4 pj xj: (i) Stabilire per qualip2[1;1], si haf2Lp (R). (ii) Dimostrare che per ogniv2 S(R)si haf v2L1 (R). (iii) Dimostrare che il funzionaleT:S(R)!Rdenito dahT ; vi=Z Rf v è una distribuzione temperata. Soluzione: (i) Si haf(x)!+1perx!0e quindif62L1 (R). All'innito lafdecade esponenzialmente e non ci sono problemi di integrabilità. Perx!0,f(x)ha un innito di ordine1=4: pertanto,f2Lp (R)per ogni1p