Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 5 luglio 2017 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Siaf2L1 (Rn ). Dimostrare che la sua trasformata di Fourierb fsoddisfaf2C0 (Rn ) ekb fk 1 k fk 1. Esercizio 1. a) Siauuna funzione continua suRe 2-periodica; dimostrare che (H= gradino di Heaviside) L H(t)u(t); s
=R 2 0e st u(t)dt1 e 2s8 Re(s)>0: b) Siau(t) =sin t+jsintj2 ; disegnare il gra co di ue, usando il punto a), determinareL H(t)u(t); s
. Soluzione: a) Partendo dalla de nizione e usando la periodicita diu, si ottiene L H(t)u(t); s
=Z 1 0e st u(t)dt=1 X k=0Z (2k+2) 2ke st u(t)dt=1 X k=0Z (2k+2) 2ke st u(t2k)dt (y=t2k) =1 X k=0Z 2 0e s(y+2k) u(y)dy=Z 2 0e sy u(y)dy
1 X k=0e 2ks e si conclude usando la somma della serie geometrica di ragionee 2s che ha modulo0. b) La funzioneusoddisfa le ipotesi del punto a), pertanto: L H(t)u(t); s
=R 2 0e st u(t)dt1 e 2s=R  0e st sin(t)dt1 e 2s=1 + e s(1 + s2 )(1e 2s )= 1(1 + s2 )(1e s ): Esercizio 2. Siafla funzione-periodica de nita ponendof(x) = cosxsu [=2; =2). (a) Disegnare il gra co difsull'intervallo [2;2]. (b) Determinare le serie di Fourier associata af(ricordiamo che cos
cos =cos(  )+cos(+ )2 ). (c) Studiare la convergenza (puntuale, in media quadratica, totale) di tale serie. (d) Usando i risultati precedenti, calcolare1 X k=114 k2 1: Soluzione: (b)fpari)b n= 0. Inoltre, a0=4 Z =2 0cos x dx=4 ; 4  Z =2 0cos xcos(nx)dx=4 Z =2 0cos[( n1)x] + cos[(n+ 1)x]2 dx =8 > < > :0 se ne dispari 4 (n2 1)se n= 4k 4 (n2 1)se n= 4k+ 2 ; di fatto, solo il casonpari interessa perche il periodo e. Pertanto, f(x) =2 + 4 1 X k=1( 1)k +14 k2 1cos(2 kx):(1) (c) La convergenza e totale, per la decrescita dei coecienti. Pertanto, la serie converge in tutti i modi richiesti. (d) Dalla convergenza della (1) inx==2 deduciamo 0 =f(2 ) =2 4 1 X k=114 k2 1= )1 X k=114 k2 1= 12 : Esercizio 3. Data la funzioneu(x; y) =x3 y+xy3 : i) determinaretale cheusia armonica inR2 ; ii) determinare una funzione armonicav(x; y) tale che (ponendoz=x+iy) la funzione f(z) =u(x; y) +iv(x; y) sia olomorfa su tuttoC. Soluzione: i) Ponendou xx+ u yy= 0 si ricava 6 xy+ 6xy= 0, onde=1, e pertanto u(x; y) =x3 yxy3 ; ii) imponendo le condizioni di monogeneita, abbiamo(vy= u x= 3 x2 yy3 vx= u y= 3 xy2 x3)v =Z (3x2 yy3 )dy=32 x 2 y2 14 y 4 +H(x) v=Z (3xy2 x3 )dx=32 x 2 y2 14 x 4 +K(y) per confronto si ottiene allorav(x; y) =14  x4 +y4 6x2 y2  +C e dunque, ponendoC= 0, f(z) =f(x+iy) = x3 yxy3  i4  x4 +y4 6x2 y2  =i4 z 4 : Esercizio 4. Data la successione di funzioni, de nite su [0;+1),f n( x) = arctan(nx), (i) determinarne il limite puntualef(x); (ii) stabilire sef n f!0 inLp (R), perp2[1:+1). Soluzione: Il limite puntuale e f(x) =( 0x= 0 2 x > 0; osservato che per x >0 f(x)f n( x) =2 arctan(nx) = arctan1nx ; e immediato concludere che kff nkp Lp (0;+1)=Z +1 0 arctan1nx  p dx; dunque per il criterio del confronto asintoticoff n62 L1 (0;+1), mentre perp >1 e possibile applicare il teorema della convergenza dominata: da 00 si ottiene che 8n2Ne per ognip >1 ssato  arctan1nx  p  g(x) =8 > < > : 2  p 0< x1 1nx  p x >1 e concludere chelim n!+1k ff nkp Lp (0;+1)= 0 : Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 20 luglio 2017 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:De nire (bene!) cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e dare la de nizione di trasformata di Laplace. Fornire poi un esempio di funzione che non sia Laplace-trasformabile. Esercizio 5. SiaHla funzione di Heaviside. (a) Determinare la trasformata di Fourier della funzionef(x) = (1x2 )
H(1x2 ). (b) Utilizzando il risultato ottenuto, calcolare l'integraleZ1 0x cosxsinxx 3cosx2 dx : Soluzione: (a) Siccomefe pari, anche^ fe pari e risulta ^ f() =Z Re ix f(x)dx= 2Z 1 0(1 x2 ) cosx dx= 2 sinx 2x cosx 2+ 2 3x 2  sinx 1 0 = 4sin cos 3: (b) Dalla formula dell'antitrasformata, sappiamo che f(x) =12 Z Re ix ^ f()d=4 Z 1 0sin cos 3cos x d : Prendendox= 1=2 si ha quindi 34 = f(12 ) =4 Z 1 0sin cos 3cos2 d e dunque l'integrale richiesto vale3=16. Esercizio 6. Per ogni2R, sia la delta di Dirac centrata in . Determinare delle funzioni'2 D(; ) tali che: (i)h 0; ' i=. (ii)'60 eh ; ' i=h ; ' iper ogni2[0; ). (iii)'60 eh ; ' i= 2h ; ' iper ogni2[0; ). Soluzione: Sono ovviamente possibili diversi esempi. Eccone qualcuno: (i)'(x) =  e e1 =(x2 1) sex2(1;1) 0 altrove( ii)'(x) =8 < :e 1 =(x2 x) sex2(0;1) e1 =(x2 +x) sex2(1;0) 0 altrove (iii)'(x) =8 < :e 1 =(x2 x) sex2(0;1) 2e1 =(x2 +x) sex2(1;0) 0 altrove. Esercizio 7. Si consideri la funzione 2-periodica tale chef(x) = 1x2 sex2[1;1]. (i) Disegnare il gra co difsull'intervallo [3;4]. (ii) Calcolare i coecienti di Fourier dif. (iii) Discutere la convergenza (puntuale, media quadratica, uniforme) della serie di Fourier determinata al punto precedente. Soluzione: ii) La funzione e pari, dunqueb n= 0 per ogni n, mentre, per simmetria: a0= 2Z 1 0f (x)dx= 2Z 1 0(1 x2 )dx=43 ; an= 2Z 1 0f (x) cosnx dx= 2Z 1 0(1 x2 ) cosnx dx=: : := (1)n 4 2 n2; dunquef(x) =23 + 4 2+ 1 X n=1( 1)nn 2cos nx; iii) la serie converge alla funzione in media quadratica; poiche inoltrefe continua, e nei punti di non derivabilita esistono nite le derivate destre e sinistre, la serie converge puntualmente a f(x) per ognix2R; in ne, poicheja nj cn 2 si ha convergenza totale, e dunque la serie converge anche uniformemente af. Esercizio 8. Date le funzioni f(z) =1z sinze g(z) =1z 2 sinz; i) classi care le singolarita difeg, e determinare per ciascuna di esse il corrispondente residuo; ii) sia nla circonferenza centrata nell'origine, di raggio n, calcolare al variare din2N In=Z nf (z)dzeJ n=Z ng (z)dz: Soluzione: Le singolarita difsono: z 0= 0, polo del secondo ordine, Res ff ; z 0g = 0 poichefe pari, z k= k(k2Z; k6 = 0), poli del primo ordine, si ha Resff ; z kg = lim z!z kz z kz sinz( H) = limz!z k1sin z+zcosz= ( 1)kk ; z=z 1singolarita non isolata; le singolarita digsono: z 0= 0, polo del terzo ordine, da g(z) =1z 2 zz 33! + o(z4 ) =1z 3
11 z 26 + o(z3 ) =1z 3 1 +z 26 + o(z3 ) =1z 3+16 z+ o(1) si ha che Resfg; z 0g =16 , z k= k(k2Z; k6 = 0), poli del primo ordine, si ha Resfg; z kg = lim z!z kz z kz 2 sinz( H) = limz!z k12 zsinz+z2 cosz= ( 1)k( k)2;  z=z 1singolarita non isolata; ii) ssaton2N, siam2Ntale chem < n