Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 13 luglio 2018 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:De nire la convergenza in media quadratica e la convergenza totale di una serie di Fourier. Per ciascuna di queste convergenze, enunciare poi una condizione suciente che la garantisca, fornendo degli esempi. Esercizio 1. Siaf(x) = (jxj 2) [2;2]( x) (= funzione caratteristica). (i) Calcolare la derivata primaf0 e la derivata secondaf00 nel senso delle distribuzioni. (ii) Calcolare la trasformata di Fourier dif00 e dedurne la trasformata di Fourier dif. (iii) Usando la formula di inversione, calcolare l'integrale Z+1 1cos(2 t)1t 2cos( t)dt : Soluzione: (i) Si ha: f0 (x) =8 < :0 se x62(2;2) 1 sex2(2;0) 1 sex2(0;2);f 00 (x) = 2 0  2  2: (ii) Trasformando lesi ottieneF(f00 (x); ) = 2ei 2 e i2 = 2(1cos(2)), da cui F(f(x); ) =F (f00 (x); ) 2= 2cos(2 )1 2: (iii) Per la formula di inversione, e tenendo conto della parita dib f, risulta f(x) =12 Z +1 1e ix b f()d=1 Z +1 1cos( x)cos(2 )1 2d : Prendendox= 1 si ottiene l'integrale richiesto: Z+1 1cos(2 t)1t 2cos( t)dt=f(1) = : Esercizio 2. Usare la trasformata di Laplace per risolvere il sistema di equazioni dierenziali y0 = 2y4z ; z0 =y2z ; y(0) = 1; z(0) = 0: Calcolare poi la trasformata di Laplace della convoluzioneyz(t) e determinarne l'ascissa di convergenza (si sottointende che le funzioniyezsono moltiplicate per il gradino di HeavisideH). Soluzione : PostoY(s) =L(y(t); s) eZ(s) =L(z(t); s) e trasformando il sistema si ottiene sY(s)1 = 2Y(s)4Z(s) sZ(s) =Y(s)2Z(s)= ) Y(s) = (s+ 2)=s2 Z(s) = 1=s2 = ) y(t) = 1 + 2t z(t) =t : Per la formula di trasformata di una convoluzione, si ha L yz(t); s
=Y(s)Z(s) =s + 2s 48 Re(s)>0: Esercizio 3. Si consideri la successione di funzioni de nite da fn( x) =8 < :1 se x= 0 ex 1x se 0 1 si ha rispettivamente: f0( z) =1z 2 (z2 + 1); f 1( z) =1( z2 + 1)2; f n( z) =1( z2 +n2 )(z2 + 1); dunque:sen= 0, l'origine e un polo di ordine 2,z=isono entrambi poli del primo ordine, sen= 1,z=isono entrambi poli di ordine 2, sen >1,z=iez=insono quattro poli del primo ordine; b) per n >1 si ha Resff n; z =ig= i2 n2 2; Resff n; z =nig= in (22n2 ); osservato chef n( z) e in nitesima di ordine 4 perjzj !+1e quindi l'integrale proposto si puo calcolare usando la teoria dei residui: Z R1x 4 + (n2 + 1)x2 +n2dx = 2i(Resff n; z =ig+ Resff n; z =nig) =n 2 +n; pertantolim n!1n 2Z R1x 4 + (n2 + 1)x2 +n2dx =: