Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 15 febbraio 2017 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Enunciare (bene!) e dimostrare la formula che consente di trovare la trasformata di Laplace di una convoluzione. Esercizio 1. Per ognik2Nsi consideri la funzione di variabile complessaf k( z) =zk e1 =z . (i) Determinare la serie di Laurent inz= 0 della funzionef k. (ii) Al variare dik, calcolare il residuo dif kall'in nito. (iii) Detta la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, determinare k2 Cin modo tale cheZ [ f k( z) + kf k+1( z)]dz= 0. Soluzione: (i) fk( z) =k X n=1z n( kn)!: (ii) Res(f k; 0) =1( k+1)!e quindi Res( f k; 1) =1( k+1)!. (iii) Per il teorema dei residuiZ [ f k( z) + kf k+1( z)]dz= 2iRes(f k+  kf k+1; 0) = 2i 1( k+ 1)!+  k( k+ 2)! che vale 0 se e solo se k= k2. Esercizio 2. Per ognix2(0;1) sia xla delta di Dirac centrata in x. Sia2 D(0;1). a) Calcolare limx!1h  x;  i. b) Fissatox 02 (0;1), calcolare lim x!x 0h  x;  i h x0;  ix x 0. c) Siafx ig1 i=1una successione di numeri razionali equidistribuiti e densi nell'intervallo (0 ;1). Calcolare lim n!11n n X i=1h  xi;  i. d) Determinare limn!11n n X i=1 xinel senso delle distribuzioni. Soluzione : a) limx!1h  x;  i= lim x!1 (x) =(1) = 0: b) limx!x 0h  x;  i h x0;  ix x 0= lim x!x 0 (x)(x 0)x x 0= 0 (x 0) : c) limn!11n n X i=1h  xi;  i= lim n!11n n X i=1 (x i) =Z 1 0 (x)dx per la costruzione dell'integrale di Riemann, con somme alla Cauchy. d) Per quanto appena visto, limn!11n n X i=1 xi= 1 nel senso delle distribuzioni. NB.A richiesta di alcuni studenti, si precisa che conequidistribuitisi intendono dei razionali che sono distribuiti equamente, senza accumulo di densita; per esempio: 12 ; 14 ; 34 ; 18 ; 38 ; 58 ; 78 ; 116 ; 316 ; 516 ; ::: Esercizio 3. Mediante trasformata di Laplace, risolvere il problema di Cauchyy(0) =y0 (0) = 0 per l'equazione lineare y00 + 2y0 + 5y=e t sint. Soluzione: Trasformando l'equazione si ottiene (s2 +2s+5)Y(s) =11 + ( s+ 1)2= )Y(s) =11 + ( s+ 1)2
14 + ( s+ 1)2=13  11 + ( s+ 1)214 + ( s+ 1)2 : Pertanto,y(t) =e t (13 sin t16 sin 2 t). Esercizio 4. a) Mediante trasformata di Fourier, risolvere l'equazione dierenzialey00 + 2xy0 + 2y= 0 (*). b) Dettay =y (x) la soluzione dell'equazione (*) che soddisfay(0) = 1 ey0 (0) = 0, determinare (x) tale che anche (x)y (x) sia soluzione di (*). Come mai queste soluzioni non sono state trovate al punto a)? Soluzione: a) Supponendo che la soluzione sia trasformabile e trasformando l'equazione si ottiene 2 ^ y2 ^y2^ y0 + 2 ^y= 0 =)^ y0 =2 ^ y=)^ y() =c e 2 =4 : Antitrasformando, si ottieney(x) =c e x2 . b) Imponendo le condizioni iniziali, si trovay (x) =e x2 . Imponendo a (x)e x2 di soddisfare l'equazione (*) si trova 0 (x) = ex 2 , da cui (x) =R ex 2 dx(ricordiamo cheex 2 non ha una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari). Ma allora, le soluzioni di (*) sono del tipo y(x) = e x2Z ex 2 dx : Queste soluzioni non sono state trovate al punto a) perche non appartengono aL1 (R) e dunque il metodo della trasformata di Fourier fallisce.