Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 19 febbraio 2016 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Spiegare cosa si intende per distribuzione, per distribuzione temperata, per conver- genza nel senso delle distribuzioni. Fornire un esempio di distribuzione che non e temperata. Esercizio 1. Calcolare l'integraleZ Rx cos(x)( x2 + 1)(x2 + 2x+ 2)dx : Soluzione: La funzione di variabile complessa f(z) =f +( z)+f ( z) conf +( z) =z e iz2( z2 + 1)(z2 + 2z+ 2); f ( z) =z e iz2( z2 + 1)(z2 + 2z+ 2); ha quattro poli del prim'ordine inz=iez=1i. Inoltre, Res(f +; i ) =1 2i20 e; Res(f +; 1+i) =1 3i20 e; Res(f ; i) =1 + 2 i20 e; Res(f ; 1i) =1 + 3 i20 e: Integrandof +(risp. f ) sulla solita semicirconferenza nel sempiano immaginario positivo (risp. negativo) e applicando uno dei Lemmi di Jordan, otteniamo Z Rx cos(x)( x2 + 1)(x2 + 2x+ 2)dx = 2i Res(f +; i )+Res(f +; 1+i)Res(f ; i)+Res(f ; 1i) =e : Esercizio 2. Risolvere il seguente problema integro-dierenziale y0 (t) = 1 +t+ 8Z t 0( t)2 y()d ; y(0) = 1: Soluzione: Supposto che supp(y)[0;1), procediamo medianteL-trasformata. PostoY(s) = L y(t)
, risulta L Z t 0( t)2 y()d =L t2 y(t)
=L t2 )
L y(t)
=2 Y(s)s 3: Ma allora, trasformando il problema, si ottiene sY(s)1 =1s + 1s 2+16 Y(s)s 3= )Y(s) =s (s2 +s+ 1)( s2)(s+ 2)(s2 + 4) =716( s2)+ 316( s+ 2)+ 12( s2 + 4)+ 3 s8( s2 + 4): Antitrasformando otteniamoy(t) =H(t) 716 e 2 t +316 e 2t +14 sin 2 t+38 cos 2 t : Esercizio 3. Data l'equazione (oven2N +) ()u00 n+ u n= n (1n ;1n )( x); a) determinare8n2N +le soluzioni di ( ) tali cheu n2 L1 (R); b) calcolare limu nnel senso delle distribuzioni (temperate). Soluzione: Applicando la trasformata di Fourier, si trova 2 b u n+ b u n= nFn (1n ;1n )( x)o )b u n=n1 + 2Fn (1n ;1n )( x)o ; dato cheF fej xj g=21+ 2 e F ffggg=F ffgF fgg, si trova un( x) =n2 e j xj  (1n ;1n )( x) =n2 Z x+1n x1n e j tj dt=8 > > > > > > < > > > > > > :n
ex
e 1 =n e 1=n2 x < 1n n 1e 1=n
e x +e x2  1n  x1n n
e x
e 1 =n e 1=n2 x > 1n ; dunque (notando che i rami della funzione si saldano con continuita)un( x) =8 > < > :n  1e 1=n Chx jxj 1n nSh1n
ej xj jxj>1n : Poiche la trasformata di Fourier e continua daS0 (R) inS0 (R), dettou= limu navremo che b u= lim nb u n= lim nn1 + 2Fn (1n ;1n )( x)o ; sapendo chen(1n ;1n )( x)D 0 (R) !2 0 si ricava immediatamente cheb u=21 + 2 0; e dunqueu(x) =ej xj  0= ej xj : Esercizio 4. a) Per ognin2N +classi care le singolarita della funzione f(z) =( z2 1)2 nz 2 n+1; e determinare il residuo inz= 0; b) calcolare per ognin2N + In:=Z 2 0sin 2 n  d; c) calcolarelim n!+1I 1 =n n: Soluzione : a) La funzionefha nell'origine un polo di ordine 2n+ 1 e all'in nito un polo di ordine 2n1; usando la formula del binomio di Newton possiamo scrivere f(z) =1z 2 n+12 n X k=0 2n k (z2 )2 nk (1)k =2 n X k=0( 1)k 2n k z2 n2k1 ; il residuo inz= 0 e dato dal coeciente diz 1 , che si ottiene perk=n, dunque Resff(z); z= 0g= (1)n 2n n : b) Applichiamo ora la formula di Eulero: In=Z 2 0(sin )2 n d=Z 2 0 ei e i2 i 2n d=( 1)n4 nZ 2 0 ei e i 2n d; ponendoz=ei (onded=1iz dz ), si trova Z2 0 ei e i 2n d=Z  z1z  2n 1iz dz =1i Z ( z2 1)2 nz 2 n+1dz; ove e la circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine, percorsa una volta in senso antiorario; per quanto visto al punto a), avremo In=( 1)n4 n
1i
2i
Resff(z); z= 0g; in de nitivaIn=( 1)n4 n
1i
2i
(1)n 2n n = 2(2 n)!4 n [n!]2: c) Osservato cheI1 =n n= ksin2 xk Ln (0;2) e che (0;2) e limitato, si deduce lim n!1I 1 =n n= lim n!1k sin2 xk Ln (0;2)= ksin2 xk L1 (0;2)= 1 : Alernativamente, si poteva usare la formula di Stirling ma era decisamente piu complicato!