Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

Full exam

Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 21 giugno 2018 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:De nire (bene!) cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e dare la de nizione di trasformata di Laplace. Fornire poi un esempio di funzione che non sia Laplace-trasformabile. Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni de nita daf n( x) = (4jxj) [4+1=n;41=n]( = funzione caratteristica). (i) Determinare il limite puntualefdif ne stabilire se f n! finL1 (R) e sef n! funiformemente suR. (ii) Dettec fneb fle trasformate di Fourier dif ne f, senza fare calcoli stabilire se esse sono continue e se c fn!b funiformemente suR. (iii) Senza fare calcoli, stabilire sec fn2 L2 (R) eb f2L2 (R) e sec fn!b finL2 (R). Soluzione: (i) Si haf(x) = (4 jxj) [4;4]. Inoltre, supx2Rj f n( x)f(x)j=1n ! 0 pern! 1 e quindif n! funiformemente suR. Siccome le funzioni coinvolte hanno supporto compatto (nel senso delle distribuzioni), la convergenza uniforme implica anche la convergenzaL1 . (ii) Dato chef ; f n2 L1 (R), per il Teorema di Riemann-Lebesgue si ha chec fn;b f2C0 0( R). Inoltre, sempre per il Teorema di Riemann-Lebesgue (continuita diF:L1 (R)!C0 0( R)) sappiamo che kc fnb fk 1= k\ fn fk 1 k f n fk 1! 0 per quanto visto al punto (i). Pertanto,c fn!b funiformemente suR. (iii) Dato chef n; f 2L2 (R) si ha anchec fn;b f2L2 (R). Combinando la convergenzaf n! fin L2 (R) (conseguenza della convergenza uniforme e del supporto compatto) si ottienec fn!b fin L2 (R) per il Teorema di Plancherel (continuita diF:L2 (R)!L2 (R)). Esercizio 2. Per ognin1 intero, si consideri la funzione de nita inRn da Fn( a 1; :::; a n) =Z   xn X k=1a ksin( kx) 2 dx : (i) Dimostrare che, per ognin, la funzioneF nammette un unico punto di minimo assoluto A n2 Rn e determinarlo. (ii) Senza calcolare il valore diF n( A n), dimostrare che lim n!1F n( A n) = 0. (iii) Dimostrare cheF n( A n) e un polinomio di secondo grado nelle componenti di A n. Soluzione : (i) Per ognin, il punto di minimo assolutoA n= (  1; :::;  n) corrisponde al caso in cui gli k( k= 1; :::; n) sono i coecienti di Fourier della funzionef(x) =x(de nita su [; ] ed estesa per 2-periodicita): k=2 Z  0x sin(kx)dx= (1)k +12k : In tal caso,S n( x) =P n k=1 ksin( kx) e la successione delle somme parziali della serie di Fourier associata af. (ii) Si ha lim n!1F n( A n) = 0 per l'identita di Parseval (convergenza L2 della serie di Fourier). (iii) Sfruttando l'ortogonalita inL2 si trova Fn( A n) =Z   xS n( x) 2 dx=Z  x 2 dxZ  S n( x)2 dx=23  2 n X k=1 2 k: Esercizio 3. Calcolare l'integraleZ 1 0sin px x (x+ 1)dx . Soluzione: Osserviamo che esiste l'integrale improprio in quanto l'integranda e in nita di ordine 1=2 inx= 0 e in nitesima del second'ordine perx! 1. Con la sostituzionex=t2 , l'integrale diventa I= 2Z 1 0sin tt (t2 + 1)dt =Z +1 1sin tt (t2 + 1)dt =iZ +1 1e itt (t2 + 1)dt : Ci siamo cos ricondotti a una forma nota, per la quale si puo applicare la teoria dei residui. Il prezzo da pagare e stato di aggiungere un polo nell'origine che pesera per meta del suo residuo. Postof(z) =eiz [z(z2 + 1)] 1 , si ha I=i(2i) Res(f ; i) +12 Res( f ;0) =(1e 1 ): Esercizio 4. Data la funzioneu(x; y) =ex cos 2y+ sin 2y
y; a) determinare2Rtale cheusia armonica; b) per ognuno deglitrovati, determinare l'armonica coniugatav(x; y) tale chev(0;0) = 0. Soluzione: a) Dauxx= 2 ex cos 2y+ sin 2y
; uyy= 4ex cos 2y+ sin 2y
si ottiene cheue armonica se e solo se=2; b) imponiamo chev y= u xe v x= u y, se = 2 si trova: vy= u x= 2 e2 x cos 2y+ sin 2y
)v=e2 x sin 2ycos 2y
+H(x); vx= u y= 2 e2 x sin 2ycos 2y
+ 1)v=e2 x sin 2ycos 2y
+x+K(y); per confrontov(x; y) =e2 x sin 2ycos 2y
+x+ 1; analogamente, se=2: vy= u x= 2e 2x cos 2y+ sin 2y
)v=e 2x cos 2ysin 2y
+H(x); vx= u y= 2 e 2x sin 2ycos 2y
+ 1)v=e 2x cos 2ysin 2y
+x+K(y); e dunquev(x; y) =e 2x cos 2ysin 2y
+x1: