Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 15 gennaio 2018 Cognome: Nome:Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria:Enunciare (bene!) e dimostrare il teorema sulla trasformata di Fourier di una convoluzione. Esercizio 1. Si considerino le funzioni di variabile complessa f(z) = sin 1z + 1 ; g(z) = cos 1z + 1 ; h(z) = sin zz + 1 : (i) Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent difegnel puntoz 0= 1, determinandone l'insieme di convergenza. (ii) Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent dihnel puntoz 0= 1, determinandone l'insieme di convergenza (consiglio: si osservi chezz +1= 1 1z +1...). (iii) Calcolare il residuo dif,g,hall'in nito. Soluzione: (i) Per ogniz6 =1 si ha f(z) = sin 1z + 1 =1 X n=0( 1)n(2 n+ 1)!1( z+ 1)2 n+1; g (z) = cos 1z + 1 =1 X n=0( 1)n(2 n)!1( z+ 1)2 n; con convergenza injz+ 1j>0 (corona circolare centrata inz=1 e raggio esterno in nito). (ii) Per ogniz6 =1 si ha h(z) = sin 11z + 1 = sin(1) cos 1z + 1 cos(1) sin 1z + 1 = sin(1)g(z)cos(1)f(z) =1 X n=0a n( z+ 1)n cona2k=( 1)k(2 k)!sin(1) ; a 2k+1=( 1)k +1(2 k+ 1)!cos(1) ; di nuovo, si ha convergenza injz+ 1j>0. (iii) Dato chez=1 e l'unica singolarita al nito per le tre funzioni (singolarita essenziale), si ha Res(f ;1) =Res(f ;1) =1;Res(g;1) =Res(g;1) = 0;Res(h;1) =Res(h;1) = cos(1): Esercizio 2. Pert0, risolvere la seguente equazione integrale (incognitay): y(t) = sin(t) +Z t 0cos( t)y()d : Soluzione : Dato cheR t 0cos( t)y()d= (cosy)(t) (se tralasciamot