Mathematical Engineering - Analisi Matematica III

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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 31 gennaio 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. Gazzola Ing. Matematica Teor E1 E2 E3 E4 TotaleI seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria:Serie di Fourier inL2 (; ): enunciare i criteri di convergenza visti a lezione, confrontando i diversi tipi di convergenza. Scrivere poi le serie di Fourier in forma esponenziale per una funzionef2L2 (; ). Esercizio 1. (1+2+2+1) Data la successione di funzioni fn( x) =8 > < > : n e nx x 0; ove; 2R,; non contemporaneamente nulli. a) Determinare il limite puntuale dif n. b) Stabilire sef nconverge in Lp (R), conp2[1;+1]. c) Determinare (al variare die ) il limite dif nin D0 (R); esistono valori non nulli die tali che fnD 0 (R) !0? d) Determinare (al variare die ) il limite dif nin D0 (0;+1). Soluzione: a)La successionef nconverge a f(x)0. b)Si ha, rispettivamente perp2[1;+1)ep= +1, che kf nkp Lp (R)= np (jjp +j jp )Z +1 0e npx dx=j jp +j jpp
np 1 kf nk L1 (R)= max fnjj; nj jg dunque in nessun casokf nk ! 0. c)Poiché8nsi haf n2 L1 loc( R), integrando per parti si trova (82 D(R)) hf n;  i=Z 0 1ne nx (x)dx+ Z +1 0ne nx (x)dx = (+ )(0) +Z 0 1e nx 0 (x)dx+ Z +1 0e nx 0 (x)dx Osservato che esisteMtale chej0 (x)j< M8x2R, possiamo applicare il teorema della convergenza dominata (la funzione maggiorante è rispettivamenteM ex eM e x ) e concludere che fnD 0 (R) !(+ ) 0; osserviamo che se= (con 6 = 0)f nD 0 (R) !0. d)Osserviamo che82 D(0;+1)esistea >0tale che(x) = 0sex < a, dunque (applicando nuovamente la convergenza dominata) hf n;  i= Z +1 ane nx (x)dx= e na (a) + Z +1 ae nx 0 (x)dx!0 pertantof nD 0 (0;+1) !0. Esercizio 2. Determinare le soluzioni reali, inL1 (R), dell'equazione dierenzialeu00 + 2xu0 + 4u= 0. Soluzione: Trasformando, si ottiene 2 b u2b u2b u0 + 4b u= 0; che riordinata fornisceb u0 + 2 22 b u= 0; il cui integrale generale è b u() =C e  24 C2C(4 punti no a qui); osserviamo cheb uè una funzione dispari, anchéusia reale occorre cheb usia immaginaria pura, ponendoC=Disi trova b u() =D
ie  24 )u(x) =Hddx e x2 =K xe x2 ; che comprende la soluzione banaleu(x)0. Esercizio 3. (1+2+2+1) Si considerino le funzioni di variabile complessa f(z) =z 2 + 1( z1)3 (z+ 1); g (z) =z 2 + 1( z1)3: (i) Classicare le singolarità difal nito. (ii) Calcolare i residui difnei punti singolari e all'innito. (iii) Dettala circonferenzajz+ 1j= 1=2percorsa in senso antiorario, calcolareR f nei due modi seguenti: * usando la formula integrale di Cauchy applicata ag* usando il Teorema dei residui. (iv) Detta la circonferenzajzj= 3percorsa in senso antiorario, calcolareR f . Soluzione: (i)fha un polo del prim'ordine inz=1e un polo del terz'ordine inz= 1. (ii) Res(f ;1) =14 , Res (f ;1) = 0perché è uno zero del second'ordine; Res(f ;1)=Res(f ;1)Res(f ;1) =14 . (iii) La funzionegè olomorfa injz+ 1j