Mathematical Engineering - Meccanica razionale e dei continui

01 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Meccanica Razionale e dei ContinuiDocente: prof.Michele Correggi Esercitatore: dott.Michele Fantechi Foglio di Esercizi 1 Vettori1.Dimostrare usando l’espressione in componenti e le propriet`a diϵ ij k(antisimmetria e ciclicit`a) che⃗u∧⃗v⊥⃗u, ⃗ve che (⃗u∧⃗v)∧⃗w= (⃗u·⃗w)⃗v−(⃗v·⃗w)⃗u. Cinematica del punto materiale 2.Disegnare la linea di universo per un punto materiale in moto rettilineo uniforme e inmoto circolare inR2 . 3.Dimostrare che nel moto uniforme⃗a(t)·⃗v(t) = 0,∀t∈R. 4.Dimostrare che in coordinate intrinseche la curvaturak(s(t)) soddisfa l’identit`a: k(s(t)) =| ⃗v(t)∧⃗a(t)|| ⃗v(t)|3 . 5.Trovare la terna intrinseca ad ogni tempo e le espressioni della velocit`a e dell’accelera-zione per un punto materiale in moto lungo la curva di equazioni parametriche    x (t) = cosωt, y(t) = sinωt, z(t) =λt. 6.Mostrare che nel moto in coordinate polari di un punto materiali l’area spazzata dallacurva `e data dalla quantit`a A(t) =12 Z ϑ1 ϑ0d τ r2 dϑ, e che si ha¨ A(t) =12 ra ϑ( t), dovea ϑ`e la componente tangenziale dell’accelerazione, i.e., aϑ( t) =r¨ ϑ+ 2 ˙r˙ ϑ. Corpo rigido 7.Usando le coordinate date dagli angoli di Eulero, determinare le espressioni dei versoriˆ e 1, ˆ e 2e ˆ e 3in termini diˆ i,ˆ j ,ˆ k. Mostrare inoltre che la velocit`a angolare `e ⃗ω= ˙φˆ k+˙ ϑˆ ℓ+˙ ψˆ e 3, dove abbiamo indicato conˆ ℓ:=ˆ k∧ˆ e 3/ ˆ k∧ˆ e 3 il versore che individua la linea dei nodi. 1 Atto di moto 8.Dato il sistema di riferimento{O,ˆı,ˆ ȷ,ˆ k}, si consideri l’atto di moto tale che i punti materialiPeQsoddisfino −→ OP=−2aˆı,−→ OQ=aˆ ȷ, ⃗vP= v 0ˆ ı, ⃗v Q= β v 0ˆ ȷ, cona, v 0> 0 eβ∈R: 1.1.trovare il valore diβper cui l’atto di moto `e rigido; 1.2.trovare la velocit`a⃗v Oche dovrebbe avere l’origine per appartenere al corpo rigido. 9.Dato il sistema di riferimento{O,ˆı,ˆ ȷ,ˆ k}, si consideri un corpo rigido piano con velo- cit`a angolare⃗ω=ωˆ k. Assumendo che l’atto di moto rigido sia tale che il puntoP appartenente al corpo soddisfi −→ OP=aˆı, ⃗v P= aω(ˆı−ˆ ȷ), cona, ω >0, e che tutti i punti della circonferenza di raggioae centroOappartengano al corpo rigido, trovare fra questi punti quelli con velocit`a massima e minima in modulo. 2