Mathematical Engineering - Meccanica razionale e dei continui

Raccolta Esercizi di Dinamica 1

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Meccanica Razionale Raccolta Esercizi di DinamicaEsercizio 1 In un piano verticale una lamina quadrata omogenea di verticiAB C Dha latole massame scorre senza attrito su di una guida orizzontale liscia, appoggiandosi solo nei verticiAeB. Un disco omogeneo di raggioRe massamè incernierato nel verticeDdella lamina. Una seconda lamina omogenea di massamha forma di triangolo rettangolo, con un cateto che scorre senza attrito lungo una guida verticale. L'ipotenusaH K di questa lamina forma un angolo di =6 con l'orizzontale e su di essa rotola senza strisciare il disco. Il sistema è inizialmente in quiete. 1.Determinare il moto del sistema nella forma„t…, doveindica l'angolo di rotazione del disco, che si suppone nullo al tempo iniziale. 2.Determinare la reazione vincolare nel punto di appoggioB. 3.Determinare il minimo valore del coeciente di attritofra disco e ipotenusa della lamina anché il rotolamento senza strisciamento sia possibile.[ „t…ƒgt2 =9R; Bƒ 1=2 1‚p3 =9
mg;p3 =15] Esercizio 2In un piano verticale una lamina quadrata omogenea di latole massamsi appoggia su una guida orizzontale liscia. Un'asta di lunghezzale massampuò scorrere senza attrito con vincolo bilatero lungo due lati della lamina con gli estremiHeK. L'estremoHè collegato con un puntoPdi massam, che scorre senza attrito lungo il lato superiore della lamina, mediante un lo privo di peso e lunghezzalche passa su di un piolo liscio posto in un vertice. All'istante iniziale il sistema è in quiete e l'angoloche l'asta forma con la verticale è pari a =6. Esprimere l'energia cinetica del sistema in funzione delle coordinate libere„s ;…indicate in gura; Determinare la velocità del puntoPquando l'angoloha il valore di =2 e l'asta raggiunge la posizione orizzontale.[ Tƒ3=2m
s2 ‚1=6ml2
2 ‚1=2ml2 sin2 
2 ‚ml 1=2 cossin

s
;v2 Pƒ 2glp3 =9] Esercizio 3In un piano verticale una lamina quadrata omogenea di lato 4Re massamsi appoggia nei vertici AeBa una guida orizzontale liscia sulla quale può scorrere liberamente. Un disco di raggioRe massamè 1ABm l C D HK Om R; m  = 6 l; mP ; m ABl; m l H K s O incernierato al baricentro Gdella lamina e sulla sua circonferenza è avvolto un lo di peso trascurabile che, dopo essere passato su due pioli lisci e ssiKeHposti rispettivamente a quota 3Re 2R, si aggancia al lato verticale della lamina nel puntoD. Al centro della circonferenza è collegato un secondo lo, anch'esso di peso trascurabile, che dopo un tratto orizzontale passa su di un piolo liscio e ssoQe termina verticalmente agganciato a un puntoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete. Determinare il legame cinematico fra
e
s, doveindica l'angolo di rotazione del disco esl'ascissa del verticeA, come in gura. Calcolare le tensioniT 1e T 2nei li durante il moto del sistema. Calcolare la reazione vincolare inBdurante il moto del sistema.[2
sƒR
;T 1ƒ mg=5;T 2ƒ 4mg=5; Bƒ mg] Esercizio 4In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare si di un'asta ABche scorre lungo una guida orizzontale liscia di massam. Al centroGdel disco è incernierata un'asta di lunghezza 2Re massamche ha il secondo estremoHvincolato a scorrere lungo una guida verticale liscia. All'istante iniziale il sistema è in quiete con l'angolodi gura che vale =6. Scrivere la Lagrangiana del sistema in funzione delle coordinate liberee(angolo di rotazione del disco). Determinare gli integrali primi di moto del sistema. Determinare la velocità angolare del disco quando l'angoloprende il valore di =3.[ p ƒ 3=2mR2
2mR2
cosƒ0;TUƒp3 =2mgR;
2 fƒ „p3 1…g=6R] Esercizio 5In un piano verticale un'astaABdi lunghezza 3Re massamè vincolata a scorrere con l'estremo Alungo una guida verticale ssa e liscia. L'estremoBè invece incernierato al centro di un disco omogeneo di raggioRe massamche rotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssa. Scrivere l'energia cinetica del sistema utilizzando la coordinata liberaindicata in gura; Calcolare, in funzione di, il momento della coppiaCda applicare al disco anché il sistema si muova mantenendo la velocità angolare dell'asta costante e pari a
ƒ!. 24 R; m P ; m AB s T1 T2 HK DQ G R; m O y xm   2 R; m R; m ABG H [ Tƒ„3=2‚27=4 sin2 …mR2
2 ;Cƒ9=2mR2 !2 cos‚1=2mgRcot] Esercizio 6In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida orizzontale. Una laminaAB Ca forma di triangolo rettangolo con angolo inApari a =3 scorre con un cateto lungo una guida verticale liscia e si appoggia con l'ipotenusa e senza attrito sulla circonferenza del disco, su cui è avvolto un lo che dopo un tratto orizzontale termina con un puntoPdi massa 4m. All'istante iniziale il sistema si trova in quiete. Determinare il moto del sistema calcolando„t…, doveè l'angolo di rotazione del disco, misurato in senso antiorario. Calcolare la tensione nel lo durante il moto. Determinare il minimo valore del coeciente di attrito fra disco e guida anché il rotolamento senza strisciamento sia possibile.[ R„t…ƒ1107 „ 24p3 …gt2 ;Tƒ4107 „ 11‚4p3 …mg;20 ‚17p3 4 „53‚4p3 …ƒ 0:206: : :] Esercizio 7Il disco di gura ha raggioRe massame rotola senza strisciare su di una guida orizzontale. Al centro del disco è incernierato l'estremoBdi un'asta di lunghezzale massamche con l'altro estremo scorre su una guida verticale liscia. Sulla circonferenza del disco è avvolto un lo che, dopo un tratto orizzontale, termina con un puntoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete con l'asta che forma un angoloƒ =6 con la verticale. Determinare la velocità angolare del disco quando quest'angolo prende il valoreƒ =3.[
2 fƒ 60„p3 1…g=41l] Esercizio 8In un piano verticale un'astaABdi lunghezza 2Re massamha l'estremoAvincolato a scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale su cui rotola senza strisciare un disco omogeneo di raggioRe massa m, il cui centro è incernierato all'estremoBdell'asta. Sull'asta scorre senza attrito un anellinoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete consƒ0 eƒ0. 3y x 3 R; m A B Om R  C y x AB OC  =3 4m PG R; m m  y x l; m  m r ; m A B O  Scrivere l'energia cinetica del sistema utilizzando le coordinate libereseindicate in gura; Determinare gli integrali di moto del sistema; Determinare di quanto ruota il disco fra l'istante iniziale e l'istante in cui l'anellino tocca la guida orizzontale. Calcolare il moto del sistema:s „t…e„t….[ p ƒ 7=2mr2
p3 =2mR
sƒ0;TUƒ0;
ƒ2p3 =7;s „t…ƒ7=22gt2 ;„t…ƒp3 gt2 =22R] Esercizio 9In un piano verticale un'astaABdi lunghezza 4Re massamha l'estremoAvincolato a scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale posizionata a quota 3Rrispetto a una seconda guida su cui rotola senza strisciare un disco omogeneo di raggioRe massam, il cui centro è incernierato all'estremoBdell'asta. Sull'asta scorre senza attrito un anellinoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete consƒ0 e ƒ0. Scrivere l'energia cinetica del sistema utilizzando le coordinate libereseindicate in gura; Determinare gli integrali di moto del sistema; Determinare di quanto ruota il disco fra l'istante iniziale e l'istante in cui l'anellino giunge a metà dell'asta. Calcolare il moto del sistema:s „t…e„t….[ p ƒ 0; TUƒ0;
ƒ2p3 =7;s „t…ƒ7=22gt2 ;„t…ƒp3 gt2 =22R] Esercizio 10In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare con vincolo bilatero sul lato inferiore di una lamina omogenea quadrata di latolƒ4Re massam, che è vincolata inAeBa scorrere con il latoABlungo una guida verticale liscia. Una molla di costante elasticakcollega un punto sso Oposto sopra il punto medio del latoB Cdella lamina con il centroGdel disco. Determinare il valore della costante elasticaktale che il sistema possa rimanere in equilibrio consƒ0 e il centro del disco collocato sotto il punto medio del latoAD. Con il valore dikcosì determinato supporre ora il sistema in quiete nella congurazione in cui siasƒR e il centro del disco si trovi sotto il verticeD. Scrivere quindi le equazioni di moto e calcolare il moto. 42 R; m AB R; m m  s 4 R; m A BR; m m  s3 R [ kƒ2mg=5R;s „t…ƒRcos„! 1t… ;!2 1ƒ g=5R;„t…ƒ2 1cos„! 2t…
;!2 2ƒ 4g=15R] Esercizio 11In un piano verticale da un disco omogeneo di raggio 2R, massame centroGsporge un prolo concentrico e solidale di raggioR. Questo prolo rotola senza strisciare su di un'asta orizzontaleAB, di lunghezzalƒ8Re massa trascurabile, vincolata nell'estremoAa un punto sso per mezzo di una cerniera e vincolata nell'estremoBa una guida orizzontale ssa e liscia. Un lo è avvolto sulla circonferenza del disco e, dopo un tratto orizzontale, passa su di un piolo liscio e termina verticalmente con un punto di massam. Sul prolo è avvolto un secondo lo che, dopo un tratto orizzontale, passa su di un secondo piolo liscio e termina verticalmente con un punto di medesima massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete e il puntoCdi contatto fra prolo e asta si trova inA, mentre l'angolo di rotazione del discoè uguale a zero. Determinare il moto del sistema:„t…. Calcolare le tensioniT 1e T 2nei li. Calcolare in funzione del tempo la reazione vincolare nella cerniera inA.[ R„t…ƒgt2 =16;T 1ƒ 9mg=8;T 2ƒ 3mg=4;H Aƒ 7mg=4;V Aƒ 1gt2 =128R
mg] Esercizio 12In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssa. Un'astaABdi massamè vincolata a muoversi orizzontalmente con vincolo di rotolamento senza strisciamento fra di essa e il punto superiore del disco. Un secondo disco, anch'esso di raggioRe massam, rotola senza strisciare sull'asta e il suo centroKè collegato con il centroHdel primo disco da una molla di costante elasticak. Nella gura la letteraindica l'angolo di rotazione del primo disco, misurato in senso orario, mentresè la dierenza fra le ascisse dei centri dei due dischi. Il sistema è mantenuto in equilibrio consƒ3Rper mezzo di una forza orizzontaleF Aapplicata nel punto Ae una forzaF K, anch'essa orizzontale, applicata nel punto K. Calcolare l'intensità diF Ae F Knecessarie a mantenere il sistema in equilibrio nella posizione assegnata. 5k s  m 4R O R; m AB C D G l ƒ8RT 2 T1 G Cm m  ABm 2R R Si supponga ora di eliminare le forze F Ae F K, come si vede nella Figura successiva. In questo modo il sistema inizia a muoversi partendo dalla congurazione assegnata in precedenza. Esprimere, per mezzo delle coordinate liberesee le loro derivate, la velocità angolare!del disco di centroK; Calcolare l'energia cinetica del sistema; Determinare gli integrali primi di moto; Dedurre le equazioni dierenziali di moto del sistema; Calcolares „t…; Calcolare di quanto è ruotato il disco di centroHrispetto all'istante iniziale quandoKviene a trovarsi esattamente sopraH, e cioè quandosƒ0.[ F Aƒ 3kR=2;F Kƒ 3kR;!ƒ
s =R
;p ƒ 1=2mR
s‚7mR2
ƒ0;TUƒ9=2kR2 ] [s „t…ƒ3Rcos!t;!2 ƒ28k=41m;
ƒ3=14] Esercizio 13In un piano verticale due dischi omogenei di uguale massame di raggio 2ReRrotolano senza strisciare su di una guida orizzontale ssa. Al centroAdel primo disco è incernierata un'asta omogenea di lunghezza 6Re massamche si appoggia con vincolo di rotolamento senza strisciamento sulla circonferenza del secondo disco. I centriAeBdei dischi sono collegati da una molla di costante elasticak. Sulla circonferenza del disco di centroAè avvolto un lo privo di peso che, dopo un tratto orizzontale, passa su di un piolo sso liscio e termina verticalmente con un punto di massaM. L'angolo di rotazione in senso orario del disco di centroAè indicato con, mentresè la dierenza fra le ascisse dei centriAeB. Determinare il valore diManché il sistema stia in equilibrio consƒ4R; Calcolare il minimo valore del coeciente d'attrito staticofra la guida e il disco di centroAnecessario anché l'equilibrio sia possibile. 6F AF K k s R; m HK R; m AB m C k s! R; m HK R; m AB m C Si elimini adesso il lo, come si vede nella Figura successiva. In questo modo il sistema, inizialmente in quiete, si muove a partire dalla congurazione assegnata in precedenza (sƒ4R). Si supponga che sia„0…ƒ0, oltre ches „0…ƒ4R. Calcolare la velocità dell'asta nell'istante in cui si avràsƒ2R; Calcolare la funzione„t….[ MƒkR=g;kR=„kR‚5=4mg…;v2 fƒ 96kR2 =23m;„t…ƒ4„1cos!t…;!2 ƒ2k=23m] Esercizio 14In un piano verticale un disco di raggioRe massamcon centroG, il cui angolo di rotazione è indicato con, rotola senza strisciare su di un'asta orizzontaleABsorretta agli estremi da due cerniere mobili. Un lo si avvolge sul disco e, dopo essere transitato su di un piolo liscioE, scende e si avvolge sulla circonferenza di un secondo disco di raggioR=4 e massamcon centroH, e risale poi passando su di un piolo liscio ssoF, terminando nel centroGdel primo disco. Determinare la coppiaCe la forza orizzontaleFda applicare rispettivamente al disco di centroGe all'asta ABanché il sistema si mantenga in equilibrio.[ Fƒmg;Cƒ3mgR=2] Consideriamo ora il medesimo sistema nel quale però sia assente la coppiaC, come si vede nella Figura succes­ siva, mantenendo però una forzaFapplicata all'astaAB, tale da mantenerla ferma. In questo modo il sistema, inizialmente in quiete, si muove a partire dalla congurazione iniziale, con„0…ƒ0 e
„0…ƒ0. Calcolare il moto del sistema, e cioè la funzione„t…; 7kM 6 R; m A B  2R; m R; ms k6 R; m A B  2R; m R; ms AB G H E FR; m R=4; mF ƒ?  Cƒ? R=2  Calcolare l'intensità della forzaFnecessaria per mantenere ferma l'astaABdurante il modo dei due dischi.1[ R„t…ƒ6gt2 =31;Fƒmg=31] Esercizio 15In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su di un'astaABche viene mantenuta ferma da una forzaFapplicata nell'estremoB. Sulla circonferenza del disco, il cui angolo di rotazione in senso antiorario è indicato connella gura, è avvolto un lo che dopo un tratto orizzontale passa su di un piolo liscio e termina verticalmente con un puntoPdi massam. Su di un prolo concentrico e solidale di raggioR=2 è invece avvolto un secondo lo che, dopo un tratto orizzontale, si avvolge sulla circonferenza di un disco di raggioR=4 e massa 16mche può rotolare senza strisciare su di una seconda astaH Kdi massa mche inHè incernierata al centro del primo disco e scorre con il secondo estremoKsu di una guida liscia, mantenendosi orizzontale. Determinare il valore del momento della coppiaCche è necessario applicare al secondo disco e la forzaF che è necessario applicare all'astaABper mantenere in equilibrio il sistema in una congurazione generica.[ Fƒmg;Cƒ2mgR] Consideriamo ora il medesimo sistema nel quale però sia assente la coppiaC, come si vede nella Figura succes­ siva, mantenendo però una forzaFapplicata all'astaAB, tale da mantenerla ferma. In questo modo il sistema, inizialmente in quiete, si muove a partire dalla congurazione iniziale, con„0…ƒ0 e
„0…ƒ0. Calcolare il moto del sistema, e cioè la funzione„t…; Calcolare la forzaFnecessaria per mantenere ferma l'astaABdurante il moto dei due dischi.21 Questa forza sarà diversa da quella calcolata in precedenza, in condizioni di equilibrio. 2Questa forza sarà diversa da quella calcolata in precedenza, in condizioni di equilibrio. 8AB G H E FR; m R=4; mF ƒ?  R=2 m ABG HK P ; m R; mR= 4;16m Fƒ?  Cƒ? R=2 [ R„t…ƒgt2 =32;Fƒ mg=2] Esercizio 16In un piano verticale il sistema indicato in gura comprende un disco omogeneo di raggio 2Re massamcon centroK, il cui angolo di rotazione è indicato con, e un secondo disco di raggioRe massam, con centroG. Entrambi i dischi rotolano senza strisciare su di un'astaABdi massami cui estremi sono vincolati a muoversi su di una guida liscia orizzontale. Un lo si avvolge sul primo disco e, dopo essere transitato su di un piolo liscio sso, scende e termina con un punto di pesop. Una seconda astaH Komogenea di lunghezza 8Re massamè incerierata aKe si appoggia sopra la circonferenza del disco di centroG, con vincolo di rotolamento senza strisciamento. L'estremoHè collegato a un punto ssoOper mezzo di una molla orizzontale di costante elasticak, la cui lunghezza è indicata cons. Determinare il valore del pesope della coppiaCda applicare al disco di centroGanché il sistema si mantenga in equilibrio consƒ3R. Determinare il minimo valore del coeciente d'attritonecessario fra il disco di centroGe l'astaH K anché l'equilibrio sia possibile con il centroGcollocato sotto il punto medio dell'asta stessa.[ pƒ3kR;Cƒ6kR2 ;3kR=mg] A partire dallo stato di equilibrio determinato in precedenza si elimini il lo che regge il pesope la coppia C, come si vede nella gura successiva, dove il sistema è ragurato in una congurazione generica. In questo modo il sistema, inizialmente in quiete, si muove a partire dalla congurazione iniziale (s „0…ƒ3R; „0…ƒ0), conGcollocato sotto il punto medio dell'astaH K. Dedurre le equazioni di moto del sistema dalle equazioni di Lagrange; Determinare di quanto si sposta l'astaABquando la coordinata liberasraggiunge il valoreR; Determinare le componenti (orizzontale e verticale) della forza esercitata nel punto di contattoNdall'asta H Ksul disco di centroGdurante il moto, in funzione della congurazione del sistema, e cioè in funzione delle coordinatese. 9m ABG HK P ; m R; mR= 4;16m Fƒ?  R=2  ? G HK pƒ? R; m2 R; m Cƒ? ABm O sƒ3Rk 8 R; m [
x ABƒ 2R=5 (verso sinistra); Tƒ ks =7 (verso sinistra); Nƒ 4mg=„4‚…] Esercizio 17In un piano verticale un disco omogeneo di raggio 2Re massampuò ruotare intorno al proprio centro ssoO(l'angolo di rotazione è indicato con). Due dischi di raggioRe massamrotolano senza strisciare su di una guida orizzontale e sono collegati fra loro da un'asta di lunghezza 4Re massamincernierata ai loro centriHeK, che si trovano alla stessa altezza diO. Sul disco di centroOsi avvolge un lo che termina nel puntoH, come si vede in gura. Un secondo lo si avvolge su di un prolo concentrico di raggioRscolpito sul disco e termina verticalmente con un punto pesante di massam. Determinare il momentoCdella coppia da applicare al disco di centroKanché il sistema stia in equilibrio con l'angolofra il lo che termina inHe la direzione orizzontale pari a =6. Si elimini ora la coppia e si determini il valore della velocità angolare del disco di centroOall'istante in cui l'angoloprenderà il valore =3.[ CƒmgRp3 =4;
2 fƒ g„4p3  …=„201R…] Esercizio 18In un piano verticale, su di un disco omogeneo di raggio 2R, massame centroHè inciso un prolo solidale e concentrico di raggioR, il quale rotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssa. Un secondo disco omogeneo di raggio 4Re massampuò rotolare senza strisciare si di un'astaABdi massam, la quale è libera di scorrere orizzontalmente appoggiandosi senza attrito negli estremiAeB. L'estremoAè agganciato a un lo che passa sul bordo del primo disco e poi termina nel centroGdel secondo disco, sul quale è avvolto un altro lo che dopo essere transitato su di un piolo sso termina verticalmente con un punto di massam. Determinare il valore del momentoCdella coppia da applicare al disco di raggio 4Ranché il sistema possa stare in equilibrio. Determinare i valori delle tensioniT 1, T 2, T 3in condizione di equilibrio. Eliminare la coppiaCe determinare il moto del sistema calcolando la funzione„t…, doveè l'angolo di rotazione del disco di centroH, come indicato in gura, supponendo che il moto inizi dalla quiete con „0…ƒ0. Determinare il valore della tensioneT 2durante il movimento. 10AB G HK R; m2 R; m m O„t… N s „t…k 8 R; m m m  Cƒ? R; mR; m 2R; m O R HK [ Cƒ7mgR;T 1ƒ 3mg=4;T 2ƒ 1=4mg;T 3ƒ mg;R„t…ƒ1=20gt2 ;T 2„t… ƒmg=10] Esercizio 19Il sistema di gura si trova in equilibrio in un piano verticale ed è formato da un disco di centro Hche rotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssa, da un'astaABe da un secondo disco di centro K, incernierato all'estremoAdell'asta. I due dischi hanno raggioRe massam, mentre l'asta ha lunghezzal e massamanch'essa. L'estremoBdell'asta è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale ssa posta alla quota 2Rrispetto alla guida sulla quale rotola senza strisciare il primo disco. Fra diso e asta vi è un vincolo di rotolamento senza strisciamento e il punto di contatto è collocato nel punto medio dell'asta. Il diametro passante perAdel disco di centroKforma un angolopari a =3 con la verticale e sull'estremo opposto adAdi questo diametro agisce una forza orizzontaleF. Sul disco di centroH, il cui angolo di rotazione è indicato con, agisce una coppia di momentoC. Determinare il valore diFeCnecessari anché il sistema stia in equilibrio nella congurazione indicata.[ Fƒp3 =2mg;Cƒp3 mgR] Consideriamo ora il medesimo sistema nel quale però siano assenti la coppiaCe la forzaF, come si vede nella Figura successiva. In questo modo il sistema, inizialmente in quiete, si muove a partire dalla congurazione iniziale, con
„0…ƒ0,„0…ƒ =3,
„0…ƒ0. Esprimere l'energia cinetica del sistema utilizzando le coordinate liberee. Determinare il valore della velocità angolare del disco di centroKquando l'angoloraggiunge il valore  =2 (diametro del disco in posizione orizzontale). Determinare di quanto si sposta l'astaABdalla congurazione iniziale alla congurazione per cui si ha ƒ =2.11m T1 T 2T 3 m  Cƒ? 2R; m RH4 R; m G AB  C ƒ?  R; m R; m K H A B l; m F ƒ?   R; m R; m K H A B l; m [ Tƒ194 mR2
2 ‚34 mR2
2 ‚2mR2

cos;
2 fƒ 2g=3R;
x ABƒ 4R=19„p3 2…(verso destra)] Esercizio 20In un piano verticale due dischi identici di massame raggioRrotolano senza strisciare su di una guida orizzontale. Ai centriHeKdei dischi sono collegati i vertici di una lamina di peso trascurabile a forma di triangolo rettangolo con angolo inKpari a =6. L'angolo di rotazione del disco di centroKè indicato con. La distanza fra i centri dei dischi è pari alƒ2p3 R, in modo che la distanzaAHsia uguale a 2R. Sull'ipotenusa può scorrere senza attrito un punto materialePdi massam. All'istante iniziale il puntoPsi trova inAcon il sistema in quiete. Scrivere l'energia cinetica del sistema utilizzando le coordinatese; Determinare gli eventuali integrali del moto; Determinare la velocità diPquando raggiunge il puntoK; Determinare di quanto si sposta il puntoKa partire dalla congurazione iniziale alla congurazione in cuiPgiunge inK.[ p ƒ p3 =2mR
s‚4mR2
ƒ0;TUƒ1=2m
s2 ‚2mR2
2 p3 =2mR
s
12 mgs ƒ0] [
s2 fƒ 64=13gR;
x Kƒp3 =2R(verso sinistra)] Esercizio 21In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida ssa e su di esso si appoggia con vincolo di rotolamento senza strisciamento il lato di una lamina quadrata di latole massatrascurabile, il cui verticeBè vincolato per mezzo di un carrello a muoversi senza attrito su di una guida orizzontale ssa. Sulla diagonale di questa lamina è vincolato a scorrere senza attrito un punto materialeQdi massamche è collegato con un lo a un secondo puntoPdi massamvincolato a sua volta a scorrere lungo il lato verticale liscio del quadrato. Il lo, di lunghezza pari alp2 =2, transita su una carrucolina puntiforme collocata nel vertice del quadrato. All'istante iniziale l'anellinoPsi trova inC(sƒ0) e il sistema è in quiete. Determinare la velocità angolare del disco nell'istante in cuiPraggiunge il punto medio del latoC B(sƒ l=2). Calcolare di quanto è variato l'angolo di rotazionedall'istante iniziale all'istante in cuiPraggiunge il punto medio del latoC B(sƒl=2).12  = 6 R; mR; mHKA P ; m 2p3 R s 2R A D C B Q; m P ; m G m; R s l l [
2 fƒ gl„42p2 …=323R2 ;
ƒp2 l=19R] Esercizio 22Il sistema di gura è composto da un disco omogeneo di raggioR, massame centroGche rotola senza strisciare su di una guida orizzontale, sulla cui circonferenza è vincolato a muoversi un anellinoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete con l'angolopari a =3. Utilizzando le coordinate libere di gura determinare la velocità dell'anellino quando raggiunge il punto più basso della circonferenza.[5
fƒ 2
f;
2 fƒ 5g=R;v2 f„P … ƒ9gR=5 (verso sinistra)] Esercizio 23Il disco di centroB, di raggioRe massam, rotola senza strisciare sull'astaH K, di lunghezza 4Re massam. L'asta scorre senza attrito appoggiata negli estremiHeK. Una seconda astaAB, di lunghezza 3Re massam, scorresenza attritoall'interno di un anellino collocato nell'estremoHdella prima. L'ascissasmisura la posizione dell'asta rispetto a un'origine ssaO. All'istante iniziale il sistema è in quiete e l'angolovale =3. Determinare l'atto di moto del sistema, e cioè (
s ;
), quando l'angoloraggiunge il valore =6. (Nota: Il risultato nale esatto è molto complicato, e dimostra come con dati anche semplici si possano ottenere calcoli complessi)[
sƒ„329p3 …=48R
0;34R
] [
2 ƒg=R „1:249:920‚1:913:472p3 …=3:549:7690;58g=R] Esercizio 24Il disco di centroGha raggio 4re massame rotola senza strisciare su una guida ssa orizzontale con angolo di rotazione. Al centro di questo disco è incernierato un punto della circonferenza di un secondo disco di raggiore massam, che è perciò libero di ruotare rispetto al precedente. All'istante iniziale il sistema è in quiete e il raggioGHè orizzontale (l'angoloè perciò nullo). Determinare l'atto di moto del sistema, e cioè (
f;
f), quando l'angolo raggiunge il valore =6.13 R; mP ; m G 4 R; m 3R; m sR; m HK AB O  4 r ; m r ; m G H [ R
2 fƒ g=560;R
2 fƒ 5g=7] Esercizio 25Un disco omogeneo di centroG, massame raggioRrotola senza strisciare su di una guida oriz­ zontale ssa e su di esso si appoggia, con vincolo di rotolamento senza strisciamento, un'astaABdi lunghezzal e massamche ha l'estremoBvincolato a muoversi orizzontalmente senza attrito. All'estremoAè incernierata una seconda astaADomogenea di lunghezza 4Re massamche si appoggia senza attrito a un estremoOdella guida orizzontale. L'angolo di rotazione del disco è indicato conmentre l'angolo che l'astaADforma con la direzione orizzontale è indicato con. Al centroGdel disco è agganciato l'estremo di un lo orizzontale che passa sul piolo liscio ssoHe termina verticalmente con un punto di massaM. Domanda 1Determinare il valore diMnecessario anché il sistema stia in equilibrio con l'angolopari a =4. Domanda 2Sieliminiora il lo che regge la massaMe si determini la velocità angolare
fdell'asta AD all'istante in cui prende una posizione verticale, conƒ =2.[ Mƒmp2 =2;
2 fƒ 12g„2p2 …=41R] Esercizio 26In un piano verticale una lamina rettangolareAB C Ddi massamcon base 2Rp3 e altezza 2 R scorre senza attrito su una guida orizzontale per mezzo di due carrelli collocati nei verticiAeB. Nel verticeCè incernierato un disco di raggioRe massamsul quale è avvolto un lo che dopo un tratto orizzontale si avvolge su un secondo disco di raggio 3R=2 e massamcon centro ssoOe termina orizzontalmente collegandosi al verticeAdella lamina. Sulla diagonale della lamina, che ha lunghezza 4Re forma un angolo di =6 con l'orizzontale, scorre senza attrito un anellinoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete e l'anellino si trova inC. Determinare le tensioniT 1e T 2durante il moto del sistema. Determinare di quanto è ruotato il disco di centroOquando l'anellino raggiunge il puntoA. Determinare la reazione vincolare inBnell'istante in cui l'anellino raggiunge il verticeA.[ T 1ƒ mgp3 =19;T 2ƒ 3p3 mg=38;
ƒ8p3 =33; Bƒ 26mg=19] Esercizio 27In un piano verticale una lamina quadrataAB K Hdi lato 2Remassa trascurabileè incernierata nel verticeHal centro di un disco di raggioRe massamche rotola senza strisciare su una guida orizzontale ssa, mentre inBè vincolata a una seconda guida orizzontale liscia. Su di un prolo semicircolare di raggioR solidale alla lamina scorre senza attrito un anellinoPdi massam. All'istante iniziale il sistema è in quiete e l'anellino si trova inA, con l'angolodi gura uguale a zero. Determinare,all'istante in cui l'anellino raggiunge il punto più basso del prolo(ƒ =2): 14AB DG H OR; mm 4R; m M   T 1 T22 R 2Rp 3s ABC DR; m mm O 3 R=2; m  di quanto è ruotato il disco; il valore dell'energia cinetica dell'anellino; il valore della reazione vincolareesercitata dal prolo sul puntoP; il valore delle componenti t(orizzontale) e v(verticale) della reazione vincolare esercitata dalla guida sul disco nel punto di contattoC.[
ƒ 2=5;T f„P … ƒ5mgR=3;ƒ13mg=3; tƒ 0; vƒ 19mg=6] Esercizio 28Nel sistema di gura il disco di centroB, raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida ssa. Sul disco è avvolto un lo che dopo un tratto orizzontale passa su di un piolo sso e termina verticalmente con un puntoPdi massam. Al centro del disco è incernierato l'estremoBdel diametroABdi un semidisco di centroN, raggio 2Re massatrascurabile, al cui raggio verticaleN Mè vincolato a scorrere senza attrito un puntoQdi massamcollegato a un piolo sso inOcon un lo passante per il puntoM. L'estremoA del diametro del semidisco può muoversi orizzontalmente senza attrito. Il sistema è inizialmente in quiete conQcollocato nel punto medioNdel diametroAB(sƒ0). Determinare: Le tensioniT 1e T 2nei due li durante il moto; Le componenti te  ndella reazione vincolare in Cnell'istante in cuiQraggiunge il punto medio del raggioN M(sƒR).[ T 1ƒ 17mg=15;T 2ƒ 11mg=15; tƒ 2mg=3 (verso destra); nƒ 29mg=30] Esercizio 29In un piano verticale un disco omogeneo di massam, raggioRrotola senza strisciare su di una guida ssa. Al centroKdel disco è incernierata un'astaH Kdi lunghezza 6Re massa trascurabile che è a contatto con vincolo di rotolamento senza strisciamento con la circonferenza di un secondo disco di centroG, raggioRe massamche rotola senza strisciare su di una guida orizzontale che si trova a una quota 2Rsotto l'astaH K. Il puntoHe il punto ssoOsono collegati da una molla ideale di costante elasticak. Si indichi conl'angolo di rotazione del disco di centroK. 152 R R A B HK R; mm P C 2 R T 1 T2 Q; m s R; mP ; m A B C M O N  Determinare il momento antiorarioCdella coppia da applicare al disco di centroKanché il sistema stia in equilibrio conKsopraOeGsotto il punto medio dell'astaH K, come nella prima gura. Dopo aver eliminato la coppiaCscrivere la Lagrangiana del sistema. Determinare il moto del sistema„t…supponendo che inizi a muoversi a partire dalla quiete e dalla posizione assegnata in precedenza, con„0…ƒ0. Determinare il valore della velocità angolare
del disco di centroKall'istante in cui il centroGsi trova sotto il puntoH. Calcolare le componenti orizzontale ( t, verso sinistra) e verticale (  n, verso l'alto) della forza esercitata dal disco di centroGsull'astaH Kall'istante iniziale del moto.[ Cƒ6kR2 ;L ƒ15mR2
2 =16kR2 2 =2‚6kR2 ‚cost.] [ƒ6„1cos„p8 kt=15m…;
2 fƒ 96k=5m; tƒ 6kR=5; nƒ 4kR] Esercizio 30In un piano verticale un guida lisciaH Kè ssata negli estremi e forma un'angolo =6 con la direzione orizzontale. A questa guida è vincolato il centroCdi un disco omogeneo di raggioRe massam. Il disco rotola senza strisciare su di un'astaABdi lunghezza 6Re massatrascurabileche si muovemantenendosi orizzontalepoiché è vincolata inAa una guida verticale liscia per mezzo di un pattino. All'estremoBdi quest'asta è collegato un lo che dopo essere passato su di un piolo liscio e sso collocato sulla stessa verticale diBe su di un secondo piolo alla stessa quota del precedente termina con un tratto verticale al quale è collegato un puntoPdi massa 3m. All'istante iniziale il sistema è in quiete con(angolo di rotazione del disco) pari a zero e il punto di contatto Efra disco e astaABsi trova nel punto medio, a distanza 3RdaA. Determinare il moto del sistema:„t…; Determinare la tensioneTnel lo; Calcolare la forzache la guidaH Kesercita su centro del disco durante il moto; Calcolare il momentoM „…esercitato dal vincolo inAsull'astaAB, in funzione dell'angolo.16 C 6R HK G R; mR; m kO  6 R HK G R; mR; m kO 6 R 3mP E A B C HK m; R M  =6  =6 [ ¨ ƒ4gp3 =17R;Tƒ39mg=17;ƒ12mgp3 =17;Mƒ„3…39mgR=17] Esercizio 31In un piano verticale un'astaABdi massamè lunghezza 6Rè incernierata a un punto sso in Ae forma con la direzione orizzontale un angolo. Un disco di raggioR, massame centroGrotola senza strisciare su una guida orizzontale posta a quota 3Rsotto al puntoA. L'asta è vincolata a scorrere in un anellino collocato nel centro del disco. All'istante iniziale l'angolovale =6 e il sistema è in quiete. Determinare la velocità angolare
del disco nell'istante in cui l'asta forma un angolo di =3 con l'orizzontale ( fƒ  =3).[
2 fƒ 16g„p3 1…=17R] Esercizio 32In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssaH K, di lunghezza 3Rp3. Un'asta ABdi lunghezza 6Re massamè vincolata a passare senza attrito nel centroGdel disco mentre i suoi estremi scorrono lungo due guide verticali lisce, passanti perHe perK, in modo che l'asta trasli verticalmente mantenendo una inclinazione di =6 rispetto all'orizzontale. L'angolo di rotazione del disco, indicato con, è nullo all'istante iniziale, quando il sistema è in quiete e il punto di contatto fra disco e guida si trova inO, punto medio diH K. Determinare il moto del sistema:„t…; Determinare il minimo valore del coeciente d'attritofra disco e guidaH Kanché sia possibile il rotolamento senza strisciamento; Determinare il valore della reazione vincolare Besercitata in Bdalla guida verticale sull'astaAB, in funzione dell'angolo di rotazione.[ „t…ƒ„gp3 =11R…t2 ;p3 =20; Bƒ mg„3p3 =22‚4=11…(verso destra)] Esercizio 33Nel sistema di gura le asteAB,B C,C DeDAhanno massa trascurabile e lunghezza 2R, mentre la diagonaleACha anch'essa massa trascurabile e lunghezza 2Rp2. In Dè situato un carrello che vincola la cernieraDa muoversi orizzontalmente, senza attrito. Un disco di raggioRe massam, con angolo di rotazione , è incernierato inAe rotola senza strisciare su una guida orizzontale ssa. Sul disco è avvolto un lo che dopo un tratto obliquo transita sulle cerniereBeCe termina agganciato a un puntoPdi massamche è vincolato a scorrere senza attrito lungo l'astaC D. Inizialmente il sistema è inquieteconPche si trova inC, conƒ0. 173 RR; m 6R; m   A B G 6 R; m AB G HKm; R O  =6  Determinare il valore della tensioneTdel lo durante il movimento. Determinare la velocità angolare del disco quando il puntoPraggiunge ilpunto mediodell'astaC D(C Pƒ R). Determinare il valore della reazione vincolare inDquando il puntoPraggiunge ilpunto mediodell'asta C D.[ Tƒ5mg=7;
2 fƒ 4g=7R; Dƒ 3mg=14 (verso l'alto)] Esercizio 34Nel sistema di gura le asteAB,B C,C D,ACeDAhanno uguale lunghezza 2Re massa trascurabile. InDè situato un carrello che vincola la cernieraDa muoversi orizzontalmente, senza attrito. Un disco di raggio Re massam, con angolo di rotazione, è incernierato inAe rotola senza strisciare su una guida orizzontale ssa. Sul disco è avvolto un lo che dopo un tratto verticale transita sulle cerniereBeCe termina agganciato a un puntoPdi massamche è vincolato a scorrere senza attrito lungo l'astaC D. Inizialmente il sistema è inquieteconPche si trova inC, conƒ0. Determinare il valore della tensioneTdel lo durante il movimento. Determinare la velocità angolare del disco quando il puntoPraggiunge ilpunto mediodell'astaC D(C Pƒ P DƒR). Determinare il valore della reazione vincolare inDquando il puntoPraggiunge ilpunto mediodell'asta C D.[ Tƒmgp3 =3;
2 fƒ 2p3 g=9R; Dƒ „p3 1…mgp3 =6 (verso l'alto)] Esercizio 35In un piano verticale un'astaABdi lunghezza 4Re massatrascurabilescorre con l'estremoA lungo una guida orizzontale ssa e nell'estremoBè incernierata al centro di un disco omogeneo di raggioR e massamche rotola senza strisciare su di una guida orizzontale ssa collocata ad altezza tale che l'angolo formato fra l'asta e l'orizzontale sia pari a =6 (l'angolo di rotazione di questo disco è indicato in gura con). Sull'astaABrotola senza strisciare un secondo disco omogeneo di centroG, raggioRe massam, il cui punto di contatto con l'asta è indicato conHmentre l'angolo di rotazione è. All'istanteinizialeil sistema è inquietecon il puntoHche si trova ametàdell'astaAB(AHƒH Bƒ2R). 182 R 2R AB C P ; m D H m; R  = 6 AB C P ; m D Hm; R   = 3  Determinare le velocità angolari dei due dischi nell'istante in cuiHcoincide conA. Determinare la rotazione subita dal disco di centroBfra l'istante iniziale e l'istante in cuiHcoincide con A. Determinare il minimo valore del coeciente d'attritofra disco e asta anché durante il movimento si mantenga il rotolamento senza strisciamento.[
2 fƒ 5g=3R;
2 fƒ g=5R;
ƒ2p3 =5;5p3 =33] Esercizio 36In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su di un'astaAB, di massatrascurabile, che può traslare orizzontalmente senza attrito, inclinata di un angolo =6 rispetto all'oriz­ zontale. Al centro del disco è incernierata un'astaGHdi lunghezza 2Re massatrascurabileche ha l'estremo Hvincolato a scorrere senza attrito sull'astaAB, e si mantiene quindi orizzontale. Al puntoHè agganciato un lo che dopo essere transitato su una cerniera inAè ssato a un punto ssoC. All'istante iniziale il sistema è in quiete conHcollocato inA. Calcolare la tensioneTnel lo durante il moto del sistema. Calcolare il minimo valore del coeciente d'attritofra disco e astaABanché sia possibile il rotolamento senza strisciamento.[ Tƒmg„4p3 …=26;„17p3 ‚24…=970;5509: : :] Esercizio 37In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida ssa orizzontale, con angolo di rotazionee centro K, come in gura. Al centro del disco è incernierata nel suo punto medio il latoB Cdi lunghezza 4Rdi una laminaAB C Ddi massa trascurabile e a forma di trapezio rettangolo, con angoli inBeAretti, angolo inDpari a 2 =3, angolo inCpari a =3 e lunghezza diADuguale a 2R. Il verticeAdella lamina è vincolato a muoversi su una guida liscia orizzontale posta a una quota tale che il latoABsi mantenga verticale eB Corizzontale. Sul disco è avvolto un lo che transita su una cerniera inCe si collega poi a un puntoPdi massamche è vincolato a scorrere senza attrito lungo il latoC D. All'istante iniziale il sistema è in quiete con il puntoPinC. 19 = 6  4RR; m R; m G AB H 2 R  = 6 loR; m B G A H C  Calcolare la tensioneTdel lo durante il moto. Determinare la reazione vincolare inAnell'istante in cuiPraggiunge il puntoD.[ Tƒ2mgp3 =5; ƒmg„2p3 3…=10] Esercizio 38In un piano verticale un prolo di raggioRconcentrico e solidale a un disco di raggio 2Re massa mrotola senza strisciare su di una guida ssa orizzontale, con angolo di rotazionee centro A, come in gura. Al centro del disco è incernierato il vertice di una lamina triangolareAB Cdi massa trascurabile con angolo in Cretto e angolo inApari a =6. Il verticeCdella lamina è vincolato a muoversi su una guida liscia orizzontale posta a una quota tale che il latoACsi mantenga orizzontale. Sul disco è avvolto un lo che transita su una cerniera liscia inBe si collega poi a un puntoPdi massam vincolato a scorrere senza attrito lungo il latoB C. All'istante iniziale il sistema è in quiete con il puntoPinB. Determinare la reazione vincolare inCnell'istante in cuiPraggiunge ilpunto medioDdel latoB C.[ ƒmg„125p3 …=24] Esercizio 39In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare su un piano inclinato di =6 rispetto all'orizzontale. Un'asta di massa trascurabile, che è vincolata a passare senza attrito in un foro nel centroGdel disco, negli estremiHeKscorre su due guide orizzontali lisce poste a distanza tale che l'asta formi un angolo costante di ampiezza =6 con la verticale. All'estremoKè collegato un lo che, dopo essere transitato su un piolo sso posto alla stessa quota diK, termina verticalmente con un puntoPdi massaM. Determinare il valore diMin funzione dimtale che il sistema stia in equilibrio. 20 = 22  =3 = 3  4 R2 RR; m P ; m AB C D K  = 6  2R; m RP ; m AB C  Si ponga oraMƒm(valore diverso da quello precedente trovato) e si calcoli la tensioneTdel lo durante il moto.[ Mƒp3 =4m;Tƒ„9‚2p3 …mg=17] Esercizio 40In un piano verticale due dischi di centroAeBe uguale massamcon raggio rispettivamente 2Re Re con angoli di rotazione indicati conesono collegati da un'astaABdi lunghezza 4Re massa trascurabile con gli estremi incernierati nei due centri. Il centroAè vincolato a scorrere su di una guida orizzontale liscia mentre il disco di centroBrotola senza strisciare su di una guida orizzonatale posta rispetto adAad una quota tale che l'asta mantenga una direzione che forma un angolo di =6 con la verticale. Sulla circonferenza del primo disco è avvolto un lo che si stacca da esso, passa sulla cerniera liscia collocata inBe termina collegato a un puntoPdi massamvincolato a scorrere senza attrito sull'astaAB. All'istante iniziale il sistema è in quiete conPinB. 1.Determinare la velocità angolare
del disco di centroAnell'istante in cuiPraggiunge ilpunto medio dell'asta; 2.Determinare il valore della tensioneTdel lo durante il moto; 3.Determinare di quanto è ruotato il disco di centroBdall'istante iniziale a quandoPraggiunge il punto medio dell'asta.[
2 fƒ 7gp3 =20R;Tƒ7mgp3 =40;
ƒ2=7] Esercizio 41In un piano verticale un disco di raggioRe massamrotola senza strisciare su una guida orizzonta­ le ssa. Sul disco passa un lo che da un lato, dopo un tratto orizzontale e un piolo sso, termina verticalmente con un puntoPdi massa 2m, e dall'altro termina con un puntoQdi massamche è vincolato a scorrere senza 21HK P ; MG m; R  s = 6  =6 4 RP ; m AB m;2Rm; R    =6 attrito lungo il cateto verticale di una struttura a forma di triangolo rettangolo AB Cdi massa trascurabile, con Aincernierato nel centro del disco eCvincolato a muoversi orizzontalmente senza attrito. I catetiABeB C hanno lunghezza 2ReR, in modo che il tratto di lo obliquo formi un angolo =6 con l'orizzontale. Indichiamo conl'angolo di rotazione del disco e conT 1e T 2le tensioni nei due tratti di lo, come in gura. All'istante iniziale il sistema è in quiete e il puntoQsi trova inC. 1.Determinare le tensioniT 1e T 2durante il moto. 2.Determinare la reazione vincolare Cin CquandoQraggiungeB.[ T 1ƒ 22mg=23;T 2ƒ 29mg=23; Cƒ 29mg=46] Esercizio 42In un piano verticale un disco omogeneo di raggioR, massame con angolo di rotazionepuò rotolare senza strisciare su un'astaABdi massamche è vincolata a scorrere orizzontalmente e la cui ascissa è indicata cons, come in gura. Una seconda astaH Kdi massam, che è vincolata agli estremi a due guide verticali liscie in modo da formare un angolo costante =6 con la direzione orizzontale, passa senza attrito nel centroGdel disco. All'istante iniziale il sistema è in quiete, con„0…ƒ0,s „0…ƒ0. 1.Dedurre il moto del sistema:„t…,s „t…. 2.Determinare il minimo valore del coeciente d'attritonel punto di contattoSfra disco e astaABanché durante il movimento il rotolamento senza strisciamento sia possibile[ s „t…ƒgp3 t2 =30;„t…ƒgp3 t2 =15R;p3 =27] Esercizio 43In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massampuò rotolare senza strisciare su di una guida inclinata di un angolorispetto all'orizzontale. Nel centroAdel disco è incernierato il vertice di un triangolo rettangoloAB Cformato da tre aste prive di peso e a loro volta incernierate fra loro. Il catetoABha lunghezza 3Re angolo inCpari a =3. Il verticeCè vincolato a scorrere senza attrito su di una seconda guida parallela alla precedente, in modo che il catetoABsi mantenga orizzontale. Sul disco si avvolge un lo che dopo essere transitato su di un piolo liscio collocato nel verticeBtermina con un puntoPdi massaMvincolato a muoversi senza attrito sul catetoB C. Statica: (a)Determinare il valore diM(in funzione dime di) tale che il sistema si mantenga in equilibrio. 22T 1 T2 2 m; P m; Q  AB C m; R  AB HK Om R; m m G S s (b)In condizioni di equilibrio calcolare il valore dello sforzo assiale Nnell'astaAB, secondo la convenzione indicata qui sotto (in questa parte lasciare indicato conMil valore determinato al punto precedente).[ Mƒmsin=„1sin…;Nƒ M g2p2 =3] Dinamica: Sisuppongaora che siaMƒ2m,ƒ =6 e che il sistema siainizialmentein quiete conPnel verticeB. (c)Determinare la tensioneTdel lo durante il moto. (d)Determinarev2 A, il quadrato delle velocità di A, nell'istante in cuiPraggiungeC. [Tƒ13mg=7;v2 Aƒ 2p3 gR=7]Esercizio 44 In un piano verticale un triangolo equilateroAB Cformato da tre aste di lunghezza 4Re di massa trascurabile ha il verticeAvincolato a muoversi senza attrito lungo una guida orizzontale mentre il verticeC è incernierato al centro di due dischi concentrici di massame di raggioRe 2R, liberi di ruotare uno rispetto all'altro, con angoli di rotazionee, come indicato in gura. Il disco di raggio 2Rrotola senza strisciare su una guida orizzontale ssa, posta a una quota tale che l'astaACsi mantenga orizzontale, mentre sul disco di raggioRè avvolto un lo di massa trascurabile che dopo essere transitato sul verticeBsi collega a un puntoP di massamche è vincolato a scorrere senza attrito sul latoAB. Inizialmente il sistema è in quiete conPinB(sƒ0). Calcolare il valore della tensioneTdel lo durante il movimento del sistema. Calcolare il valore della reazione vincolareinAquandoPraggiunge il punto medio del segmentoAB (sƒ2R). [Tƒ7mgp3 =40;ƒ7mg„6p3 …=160]23NN T T€ € M ; P m; R AB C 3 R    =3 4 Rm B ACm; 2R m; R  = 3  H s Esercizio 45 In un piano verticale un disco omogeneo di raggioRe massamrotola senza strisciare su di una guida ssa. Al centroAdel disco, che hacome angolo di rotazione, è incernierato il vertice di un triangolo rettangolo isoscele di massatrascurabilecon un secondo verticeCposto a quota 2Rverticalmente sopraA e un terzo vertice incernierato all'estremoHdi un'astaH Kdi massatrascurabileche è vincolata a scorrere orizzontalmente senza attrito alla medesima quota diA. Sull'astaH Krotola senza strisciare un secondo disco omogeneo di centroG, raggioRe massa 4m. Un lo si avvolge sul disco di centroAe, dopo un tratto orizzontale, passa su di un piolo sso e termina verticalmente con un puntoPdi massam. Il medesimo lo si stacca dal disco, come in gura, e dopo essere transitato su un piolo liscio posto nel verticeC(formando perciò un angolo di =6 con la verticale) si avvolge sulla circonferenza del disco di centroG. Calcolare il valore delle tensioniT 1e T 2nei due tratti di lo durante il moto. Calcolare la componente tangente tdella reazione vincolare in M. Calcolare la componente normale ndella reazione vincolare in M. [T 1ƒ 11mg=15;T 2ƒ 7mg=15; tƒ mg=5 (verso sinistra); nƒ 23mg=30]24T 2 A m; R4 m; R G C HK T 1 P ; m MN 2R