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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

First partial exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Prova in itinere – 2 maggio 2018 Problema 1 Una massa m = 1 kg percorre una pista circolare orizzontale (raggio R = 50 m), con coefficiente di attrito dinamico mD = 0.1, sotto l’azione di una forza tangenziale di intensità F(t) = F 0e-kt (F 0 = 2 N, k = 0,2 Hz). Al tempo t 0 = 0 s, la massa transita per il traguardo con una velocità v 0 positiva e si ferma dopo un intervallo di tempo t 1 = 20 s. Si ricavi: a) il valore di v 0; b) lo spazio percorso al tempo t 1; c) le componenti normali e tangenziali dell’accelerazione ai tempi t 0 e t 1. Problema 2 Si enunci e si dimostri la legge di composizione delle accelerazioni in cinematica relativa (o teorema delle accelerazioni relative) commentando opportunamente i passaggi fatti. Si discuta il risultato ottenuto chiarendo il significato fisico dei termini presenti. Si riporti infine un esempio significato di applicazione di tale legge. Problema 3 Un corpo puntiforme (massa m) viene lanciato con velocità v 0 verso un cuneo (massa M = 7m) libero di scivolare su un piano orizzontale e inizialmente fermo su di esso (si veda disegna a lato). Si determini in funzione di v 0 e dell’accelerazione di gravità g: a) l’altezza massima del cuneo (H MAX ) affinché il corpo puntiforme possa arrivare sulla sommità del cuneo. Nell’ipotesi che il cuneo abbia un’altezza H pari alla metà di H MAX si determinino (sempre in funzione di v 0 e dell’accelerazione di gravità g): b) la velocità v 2 assunta dal cuneo dopo che il corpo puntiforme ha raggiunto quota H; c) la distanza laterale Δx tra cuneo e corpo puntiforme nel momento in cui il corpo puntiforme, dopo avere lasciato il cuneo, riatterra sul piano orizzontale. m M v0 H Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 SOLUZIONE Problema 1a Risultante delle forze applicate su m in direzione tangenziale (verso positivo in senso antiorario): mg e F F e F F D kt D kt m− = − = − − 0 0 Applico il II Principio Dinamica: g e m F a m D kt m− = ⇒ = − 0 F a Ricavo legge oraria: () () ( ) gt e km F v dt g e m F v dtta v tv D kt t D kt t m m − − + =     − + = + = − − ∫ ∫ 1 0 0 0 0 0 0 0 ()() () () 2 20 0 0 00 0 0 0 2 1 1 1gt e m kF t kmF v dt gt e kmF v dt t v s t s D kt t D kt tm m − − −      + =      − − + = + = − − ∫ ∫ Ricavo v 0 imponendo la condizione per cui la velocità si annulli in t 1 = 20 s: () m/s 9,8 1 1 0 1 0 = − − = −kt De kmF gt v m e successivamente lo spazio percorso s 1: () ) 173 circa a pari angolare posizione alla dente (corrispon m 150,8 1 ° = t s Ricavo la componente normale e tangenziale dell’accelerazione al tempo t 0 = 0 s: 2 - 0 ms 02 . 1 = − = =g m F m F a D T Tm 2- 20 ms 92.1= = R v aN Ricavo la componente normale e tangenziale dell’accelerazione al tempo t 1 = 20 s (in questo ϑ F FD FD N aT aN Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 secondo caso si noti che la forza d’attrito dinamico non esiste poiché il corpo ha velocità nulla): 2- 0 ms 04.0= = = −kt T T e m F m F a 2 - 2 1 ms 0 = = R v a N Problema 2 Si veda testo di teoria Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Problema 3 a) Il corpo di massa ������ raggiunge la massima altezza quando è fermo rispetto al cuneo, cioè quando ha la stessa velocità del cuneo. Per la conservazione della quantità di moto totale e dell’energia meccanica possiamo scrivere: ������� ������ 0=������������+������������ 1 2 ������������ 02= 1 2 ������ ������ 2+1 2 ������ ������ 2+������������������ ������������������ ������� =������ ������ 0 ������+������ =1 8 ������0 ������ ������ ������������������ =1 2 ������02− 1 2 81 64 ������02= 7 16 ������02 Quindi: ������ ������������������ =7 16 ������02 ������ b) Se ������=������ ������������������ /2 la velocità di ������ sulla sommità sarà diversa da quella del cuneo. In generale si deve porre: ������� ������ 0=������������ 1+������������ 2 1 2������������ 02= 1 2 ������ ������ 12+ 1 2 ������ ������ 22+ ������������������ ������� 1= ������ 0−7������ 2 1 2������������ 02= 1 2 ������ ( ������ 02− 14������ 0������2+49������ 22) +1 2 7 ������������ 22+ ������������7 32 ������02 ������ 56 2 ������22− 14 2 ������0������2+7 32 ������02 = 0 4������ 22− ������ 0������2+1 32 ������02 = 0 Da cui: ������ 2=������ 0± � ������ 02− ������ 02/2 8 = 1 ±1/ √2 8 ������0 Si hanno due soluzioni: ⎩⎪⎨ ⎪⎧ ������2+ =1 +1/ √2 8 ������0 ������1 + =������ 0−7������ 2+ =1 −7/ √2 8 ������0< 0 che non è accettabile perché la massa ������ sulla sommità si muove di verso concorde a ������ 0. L’altra soluzione è quella accettabile: Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 ⎩⎪⎨ ⎪⎧ ������2=������ 2− =1 −1/ √2 8 ������0 ������1= ������ 0−7������ 2− =1 +7/ √2 8 ������0 c) Una volta abbandonato il cuneo, la massa ������ si muove di moto parabolico con equazioni del moto pari a: ������� ( ������) =������ 1������ ������( ������) =������−1 2 ������ ������ 2 Il tempo che impiega ������ a raggiungere il terreno è: ������( ������̅ ) =0=������−1 2 ������ ������̅ 2 ������̅ =�2 ������ ������ =�7 16 ������0 ������ =√ 7 4 ������0 ������ La velocità relativa di ������ rispetto al cuneo è: ������ 1′= ������ 1−������ 2=1 +7/ √2 − 1+1/ √2 8 ������0=������ 0 √ 2 Allora la distanza relativa Δ������ tra ������ e il cuneo risulta: Δ������=������ 1′������ ̅ =������ 0 √ 2 √7 4 ������0 ������ =1 4 � 7 2 ������02 ������