Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

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Politecnico di Milano Fisica Sperimentale I a.a. 2011-2012 – Ingegneria Matematica Appello - 14/09/2012 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1.Una pallina di massa m è fissata all'estremità di una corda inestensibile di lunghezza R e di massa trascurabile. Un ragazzo, tenendo l'estremità libera della corda, fa roteare la pallina nel piano verticale a velocità angolare costante ω, in senso orario riferendosi al disegno. Al tempo t 0, quando la pallina si trova nella posizione rappresentata nel disegno (fune orizzontale, velocità della pallina rivolta verso l'alto), il ragazzo lascia andare istantaneamente la corda. Si assuma pari ad h l'altezza della pallina rispetto al suolo quando la corda è lasciata andare. a)Definire un appropriato sistema di riferimento e scrivere l'equazione del moto della pallina prima che sia rilasciata. b)Qual è il tipo di moto compiuto dalla pallina dopo il rilascio? Scrivere l'equazione della traiettoria in un opportuno sistema di riferimento, eventualmente diverso da quello usato nel punto a) (specificare il sistema di riferimento). c)Dopo quanto tempo la pallina ricade al suolo? 2.Un cilindro pieno, di massa M = 20 kg e raggio R = 0.1 m, sta ruotando attorno al suo asse con una velocità angolare ω 0 = 4 rad s-1 . Un uomo comincia a premere con un dito sulla superficie laterale del cilindro, con una forza costante F = 1N, ortogonale alla superficie. a)Supponendo che il coefficiente di attrito dinamico tra dito e cilindro sia μ d = 0.5, qual è il momento di attrito fornito? b)Dopo quanto tempo il cilindro ferma la sua rotazione? c)Quanta energia è stata dissipata? d)Se invece si applica al cilindro un motorino, allo scopo di mantenerlo in rotazione a velocità angolare costante ω 0 nonostante la pressione del dito, quanta potenza meccanica deve esercitare questo motore? 3.a) Definire il lavoro termodinamico per una trasformazione qualsiasi. b)Scrivere e giustificare l'espressione del lavoro termodinamico per una trasformazione isobara quasistatica di un gas perfetto, in funzione della variazione di volume e in funzione della variazione di temperatura. c)Un cilindro di sezione S = 1.0 dm2 , fissato orizzontalmente su un piano, contiene n = 5.0 mol di gas perfetto. Le pareti laterali del cilindro sono adiabatiche; la parete di fondo a sinistra invece è diatermana, mentre a destra il cilindro è chiuso da un pistone adiabatico, mobile senza attrito, collegato tramite un filo inestensibile a una massa M = 10 kg, come nel disegno. Inizialmente il sistema è in equilibro. Viene quindi fornita al gas in modo reversibile, tramite la parete diatermana, una quantità di calore non nota. Durante la trasformazione che ne consegue la massa scende di x = 10 cm. Calcolare la variazione di temperatura del gas. [R = 8.31 J K-1 mol-1 ] 4.Una scatola metallica, a forma di parallelepipedo di lati a = 20 cm, b = 40 cm e c = 20 cm e di massa m = 2 kg, galleggia in acqua. La faccia definita dai lati a e b è parallela alla superficie dell'acqua. La scatola è aperta superiormente. a)Per quanta parte la scatola è immersa? b)A un certo punto si apre un piccolo forellino sul fondo della scatola. Con che velocità l'acqua entra all'interno della scatola dal forellino, nell'istante immediatamente successivo alla formazione del foro? c)Quanti litri d'acqua devono entrare nella scatola dal forellino sul fondo affinché non sia più in condizione di galleggiare (ovvero l'acqua cominci ad entrare anche dal bordo superiore)? Esercizio 1 a)Fissato, per esempio, un sistema di coordinate cartesiane centrato sullamano del ragazzo (xasse orizzontale eyasse verticale), la pallina descrive un moto circolare uniforme secondo le seguenti equazioni del moto: x=Rcos (!t+ 0) y=Rsin (!t+ 0) Piu precisamente, int=t 0, deve essere ( x; y) = (R;0), come mostrato nel disegno, dunque 0= +!t 0e x=Rcos (!(tt 0)) y=Rsin (!(tt 0)) b)Dopo il rilascio la pallina parte con velocita iniziale diretta verticalmente.Mantenendo lo stesso sistema di riferimento del punto precedente, il moto e dunqueuniformemente accelerato(caduta di un grave) lungo la retta x=R La traiettoria e il luogo dei punti eettivamente percorsi dalla pallina, dunque non e l'intera retta ma il segmento di quest'ultima compreso tra il suolo e il punto piu alto raggiunto. Il suolo e de nito day=h. Poiche l'equazione del moto della pallina e y=12 g (tt 0)2 +!R(tt 0) il punto piu alto raggiunto ey max=12 ! 2 R2g . La traiettoriadella pallina e quindi piu precisamente descritta da: x=R h6y612 ! 2 R2g c)Imponendoy=hnell'equazione del moto si ricava tt 0=!Rg +s! 2 R2g 2+2 hg 2 Esercizio 2 a)Il momento della forza d'attrito~ Fae ~=~ R~ F. Si ha~=R dF ~u z; in moduloj~j= 0.05 Nm mentre~u ze parallelo all'asse di rotazione ( ~! 0= !0~u z). b)L'accelerazione angolare del cilindro (con momento d'inerziaI=12 M R2 ), sottoposto a un momento~, e =I = 2  dFM R Per un moto circolare con accelerazione angolare costante si ha!=! 0+ t. Imponendo che il cilindro si fermi (!= 0) si ottiene: t=! 0 = M R! 02  dF= 8 s c)L'energia meccanica iniziale eE i=12 I !2 0(pura rotazione). L'energia meccanica nale eE f= 0, poiche il cilindro si e fermato. L'energia dissipata dall'attrito e dunque tutta l'energia inizialeE diss=12 I !2 0= 0.8 J. d)Il motore deve produrre un momento meccanico uguale e contrario a quellodell'attrito, in modo che il momento complessivo sia nullo e il cilindro continui a ruotare a velocita angolare costante. motore=  attrito= R dF La potenza deve essere dunque tale anche il motore fornisca questo momento a una velocita angolare! 0. P= motore! 0= R dF ! 0= 0 :2 W Esercizio 3 a)L=R pestdV dovep este la pressione dell'ambiente esterno e Ve il volume del sistema che compie lavoro. . . b)L=R pestdV =R pdV=pR dV=p
V pV=nRT=)p
V=nR
T=) L=nR
T 3 c)La variazione di volume del gas e
V=xS. La pressione del gas equilibra le forze esterne sul pistone, che sono le forze di pressione atmosferica e la tensione del lo (pari alla forza peso della massaM): Fest= F p+ P M= p atmS M g La pressione interna e dunque p=F estS = p atmM gS Ora, dalle espressioni del lavoro ricavate precedentemente abbiamo:
T=LnR = p
VnR = ( p atmS M g)xnR ' 2:2 C Esercizio 4 a)All'equilibrio di galleggiamento la spinta di Archimede equilibra il pesodella scatola.~ SA+~ P= 0 Se de niamohla parte immersa del latocdella scatola, il volume immerso eV imm= abh. PercioS=V immg =abhg(dovee la densita dell'acqua). EssendoP=mg, h=mab = 2 :5 cm b)La velocita di eusso da uno stretto ori zio, posto a profonditah, si puo calcolare tramite il teorema di Bernoulli e valev=p2 gh= 0:7m=s. c)Bisogna considerare il galleggiamento (~ SA+~ P= 0) nella condizione limite in cuih=c, tenendo conto anche del peso dell'acqua contenuta nella scatola. Si ha S=abcg P=mg+V acqua Vacqua= abcm = 14
10 3 m3 = 14 l 4