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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Full exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Appello – 16 febbraio 2018 Problema 1 Un pendolo, costituito da un filo ideale di lunghezza L e da una pallina di massa M di dimensioni trascurabili, è nella sua posizione di riposo. Ad un certo istante, esso viene colpito da un proiettile di massa m = M/3 di dimensioni trascurabili, che ha velocità v 0 inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. L’urto è completamente anelastico. Si determinino: (a) la velocità v * delle masse subito dopo l’urto. (b) la massima lunghezza L del filo affinché il pendolo riesca a effettuare un giro completo attorno al suo punto di vincolo. Problema 2 a) Si ricavi l’espressione dell’energia potenziale gravitazionale efficace posseduta da un satellite di massa m posto nel campo gravitazionale di un pianeta di massa M supposto puntiforme. b) Si disegni in un grafico l’andamento qualitativo dell’energia potenziale gravitazionale efficace in funzione della distanza r tra il centro del satellite ed il centro del pianeta. A partire da tale grafico, si discuta come varia la distanza massima e minima tra i due corpi al variare dell’energia meccanica del satellite e si facciano delle ipotesi sulla forma delle possibili orbite percorse dal satellite. Problema 3 Un disco rigido (massa M e raggio R), inizialmente fermo su un piano orizzontale, viene messo in rotazione sul piano tramite l’azione di una coppia motrice di intensità τ. (a) Si calcoli il massimo valore τ MAX affinché il disco non slitti sul piano orizzontale, sapendo che tra piano e disco si sviluppa un attrito radente con coefficiente di attrito statico µ S. (b) Si ipotizzi che al disco venga applicata una coppia motrice di intensità τ������������������ 3 ⁄ per un tempo ∆t. Sapendo che dopo tale intervallo di tempo il disco sale su un piano inclinato con inclinazione rispetto all’orizzontale pari a θ, si calcoli il minimo valore di ∆t necessario per far salire il disco di una quota H. Problema 4 Un gas ideale monoatomico compie un ciclo termico reversibile composto da due trasformazioni isoterme e due trasformazioni isocore. Si definiscano con T M IN e T MAX i valori di temperatura minima e massina dal gas e con r = V MAX /V M IN il rapporto tra il massimo e il minimo volume del gas durante il ciclo. a) Si calcoli il rendimento del ciclo, esprimendolo in funzione delle variabili T M IN , T MAX e r. b) Si consideri un ciclo di Carnot che operi tra le medesime temperature estreme. Si ricavi l’espressione analitica del rapporto tra il rendimento del ciclo di Carnot e il rendimento del ciclo in esame e di dimostri che tale rapporto è sempre maggiore di 1. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 SOLUZIONE – 16 febbraio 2018 Problema 1 a) Si definisca con v* la velocità delle masse subito dopo l’urto. Si applichi ora la conservazione del momento angolare rispetto al punto di vincolo del pendolo (o, equivalentemente, la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale) del sistema di corpi durante l’urto: ������������������ 0������������������ α =������( ������∗= ������0������������������ α 4 b) Si applic hi la conservazione dell’energia meccanica durante il moto del pendolo (considerando l’intervallo di tempo compreso tra l’istante immediatamente dopo l’urto e l’istante in cui i corpi sono nel punto di massima quota) e la condizione per cui la tensione T esercitata da un filo è sempre diretta verso il punto di vincolo del filo. Si definisca con v FIN la velocità acquistata dalle masse nel punto di massima quota. 1 2 ������ ������������������ ������∗2 =1 2 ������ ������������������ ������������������������2 + ������ ������������������ ������2������ ������+������ ������������������ ������=������ ������������������ ������������������������2 ������ ⇒������=������ ������������������ ������� ������������������2 ������ − �������≥0 Dalle due relazioni si ricava: ������≤ ������02������������������ 2������ 80������ Problema 2 Si veda un testo di teoria di riferimento Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 3 a) Si applichi la condizione di moto di rotolamento senza strisciamento (v CM =ωR) imponendo che l’attrito statico (R T) tra ruota e piano - diretto in direzione concorde al moto di traslazione (asse x) – si mantengo al di sotto del suo valore massimo: ������ ������������������,������ =������������ ������ ������ ������=������ ������������ ������ ⇒������=3 2 ������ ������ 2������=3 2 ������������ ������ ������������ Dalla validità delle due relazioni si ottiene infine: ������≤ 3������������������������������ 2 = ������������������������ b) Nell’intervallo di tempo ∆t la coppia motrice di valore ������������������������ 3 = ������������������������������ 2 accelera il disco fino a imprimergli una velocità di rotazione (e una velocità di traslazione del suo centro di massa) pari a: ������= ������������������ 3������Δ������ ������������������ = ������������������ 3Δ������ Si imponga a questo punto la condizione di conservazione dell’energia meccanica del disco nell’intervallo di tempo compreso tra l’istante in cui il disco inizia a salire sul piano inclinato (con velocità ω) e l’istante in cui il disco si ferma avendo raggiunto la massima quota H. Si ricordi che il disco rigido si sta muovendo di moto di rototraslazione e quindi la sua energia cinetica è composta sia da una componente di energia di rotazione intorno al centro di massa e da una componente di energia di traslazione del centro di massa (alternativamente si può vedere l’energia cinetica del disco come un’unica componente di energia di rotazione pura intorno al punto C di contatto con il piano): 1 2 ������������������ ������ ������2+1 2 ������ ������ ������������2 = ������������������ Da cui si ricava: Δ������ = 1 �������������12������ ������ Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Problema 4 a) ������=1−| ������ ������������������ | |������ ������������������ |=1−� ������ ������������,������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������ +������ ������������,������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ � ������� ������������,������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������ +������ ������������,������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ � Applicando il primo principio della termodinamica a ognuna delle quattro trasformazioni, si ricava: ������ ������������ =⋯=nRT ������������������ log ������(r) ������ ������������ =⋯=−n3 2 R ( ������ ������������������ −������ ������������������ ) ⇒| ������ ������������ |=n3 2 R ( ������ ������������������ −������ ������������������ ) ������ ������������ =⋯=−nRT ������������������ log ������(r)⇒| ������ ������������ |=nRT ������������������ log ������(r) ������ ������������ =⋯=n3 2 R ( ������ ������������������ −������ ������������������ ) Da cui, ������=1 − ������������������������ + 3 2 ⁄ ( ������������������������ − ������������������������ ) ������������( ������) ������������������������ + 3 2 ⁄ ( ������������������������ − ������������������������ ) ������������( ������) b) Si ricordi che un ciclo termico di Carnot ha rendimento: ������ ������������������������������������ =1−������ ������������������ ������������������������ Si ricava: ������������������������������������������ ������ =1 + 3 2 ⁄ ( ������������������������ − ������������������������ ) ������������( ������) ������������������������ > 1