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Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Second partial exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Seconda prova in itinere – 29 giugno 2018 Problema 1 Una ruota, composta da un cilindro omogeneo di raggio R e massa M, si trova ai piedi di un piano scabro (coefficiente di attrito statico µ S) inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo θ. La ruota è collegata, tramite una fune ideale il cui estremo P si può muovere in un piano verticale, a una carrucola di massa M e raggio r (si veda figura a lato). a) Calcolare - in funzione delle grandezze note - la forza massima F che si può applicare al punto P della fune per poter far salire la ruota lungo il piano inclinato senza farla strisciare. Una volta che la ruota è stata portata in cima al piano inclinato, si supponga di sostituire la forza F con una massa m, collegando quest’ultima all’estremo P della fune. Ipotizzando che a questo punto la ruota scenda lungo il piano inclinato compiendo un moto di puro rotolamento con velocità iniziale nulla, b) si calcoli - sempre in funzione delle grandezze note - la velocità angolare ������ ������ raggiunta dalla ruota nell’istante in cui la massa m si sia sollevata di una quota h. Problema 2 Un ciclo frigorifero di un gas perfetto è costituito dalle seguenti trasformazioni reversibili: A→B: espansione isobara; B→C: compressione isoterma; C→A: espansione adiabatica. a) Si disegni il grafico del ciclo nel piano di Clapeyron, indicando chiaramente in quali trasformazioni il calore viene assorbito e in quali viene ceduto. b) Si calcoli l’efficienza frigorifera del ciclo sapendo che ������������ ������������ = 3 4. c) Si calcoli l’efficienza di una macchina frigorifera di Carnot che operi tra le temperature estreme del ciclo frigorifero descritto in precedenza. Problema 3 Si enunci e si dimostri il teorema di Carnot e se ne discuta il significato fisico. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 SOLUZIONE Problema 1 a) Tenendo conto del diagramma delle forze agenti sui corpi e del sistema di riferimento riportati in figura, possiamo scrivere le seguenti equazioni del moto: Punto P→������−������ ′=0 Carrucola→������ ′������−������ a cui dobbiamo aggiungere: ������������ ������=������������ ������=������; ������ ������=1 2 ������ ������ 2; ������ ������=1 2 ������ ������ 2 e la condizione riguardante l’attrito. Poiché si vuole che la ruota rotoli senza strisciare, le condizioni da considerare per l’attrito sono quelle statiche, quindi: ������ ������≤������ ������������������; Procedendo quindi con sostituzioni nelle 5 equazioni precedenti si ricava: ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ������′=������ ������=������−1 2 ������������ ������ ������=������−1 2 ������������ ������ ������ =������������cos������ ������−1 2 ������������ −������ ������−������������sin������=������������ ������ ������=1 2 ������������ ������ ������=1 2 ������������ Dall a 4° equazione si ricava: ������������=2 3 ( ������−������ ������−������������sin������) che sostituito nella 5° mi permette di trovare la forza d’attrito: ������ ������=1 2 ������������ =1 3 ( ������−������ ������−������������sin������) 4 3 ������������=1 3 ( ������−������������sin������) ������ ������=1 4 ( ������−������������sin������) Sostituendo le espressioni ricavate per ������ ������ e ������ ������ nella condizione per l’attrito statico, si ottiene la condizione per la forza ������: 1 4 (������−������������sin������) ≤������ ������������������cos������ ������≤������������( sin������+4������ ������cos������) Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 b) La velocità angolare ������ ������ della ruota può essere ricavata da considerazioni sull’energia. Poiché il lavoro complessivo delle tensioni ������ e ������′ e della forza d’attrito ������ ������ è nullo, possiamo dire che le forze non conservative agenti sul sistema di corpi non compiono lavoro. Allora l’energia meccanica totale si conserva. L’energia meccanica iniziale si può assumere nulla. Per l’energia meccanica finale si deve tener conto che quando la massa m sale di ℎ, il centro di massa della ruota si abbassa di ℎ′ con ℎ ′=ℎsin������ Allora risulta: ������ ������( fin) =1 2 ������ ������ 2+1 2 ������������������������2+ 1 2 ������������∗������������2+ ������������ℎ−������������ℎ′ dove risulta: ������=������������ ������=������������ ������; ������ ������∗= 3 2 ������ ������ 2 Dalla conservazione dell’energia meccanica totale si ha ������ ������( fin) = ������ ������( ini) = 0, quindi: 1 2 ������������ 2������������2+ 1 2 1 2������ ������ 2������2 ������2������������2+ 1 2 3 2������ ������ 2������������2+ ������������ℎ−������������ℎsin������=0 1 2 ������2������������2� ������+1 2 ������ +3 2 ������ �=������ℎ( ������sin������−������) ������ ������2= 2 ������ℎ ������ 2 ������sin������−������ 2������+������ e infine: ������ ������=1 ������ �2������ℎ������ sin������−������ 2������+������ Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Problema 2 b) Il coefficiente di prestazione della macchina frigorifera è dato da: ������=������ ASS | ������ ASS +������ CED | dove il calore viene assorbito durante l’espansione isobara e vale: ������ ASS =������������ ������( ������ ������−������ ������) mentre viene ceduto durante la compressione isoterma: ������ CED =������������������ ������ln������� ������ ������������ � Per ricavare il rapporto dei volumi in funzione del rapporto delle temperature ricordiamo che per una trasformazione adiabatica reversibile si ha: ������������ ������−1 =cost mentre per una isobara risulta: ������ ������ =cost Allora possiamo scrivere: ������ ������������������������ −1 =������ ������������������������ −1 ������ ������ ������������ =������ ������ ������������ Quindi: ������ ������=������ ������ ������������ ������������ Ricordando poi che ������ ������=������ ������, si ottiene: ������ ������������������������ −1 =������ ������������� ������ ������������ � ������ −1 ������������������ −1 da cui: ������ ������ ������������ =������� ������ ������������ � ������ ������−1 Il coefficiente di prestazione allora risulta: ������=������ ASS | ������ ASS +������ CED |=������ ������ ������( ������ ������−������ ������) ������������� ������( ������ ������−������ ������) +������������������ ������ln������� ������ �������������� = =1 −������ ������ ������������ � 1−������ ������ ������������+������ ������− ������ ������ ������������ ������ ������−1 ln������� ������ �������������� =1 −������ ������ ������������ � 1−������ ������ ������������+ ln������� ������ �������������� Sostituendo il valore numerico del rapporto t ra le temperature abbiamo: ������=1 8ln2−4ln3−1 =6.63 c) L’efficienza di una macchina frigorifera di Carnot è pari a: ������������= ������ASS | ������| = ������ASS � ������ASS −| ������ CED |�= ������ASS | ������CED |−������ ASS =…= ������MIN ������������������������ −������ ������������������ (si vedano passaggi nella pagina seguente) Nel caso del ciclo precedente si ottiene quindi: ������ ������=������ ������ ������������− ������ ������ =3 Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2017/18 Per il calcolo dell’efficienza di una macchina frigorifera di Carnot si ricordi che tale macchina assorbe una quantità di calore ������ 1>0 da una sorgente a temperatura ������ 1 e cede una quantità di calore ������ 2������ 1. Il coefficiente di prestazione della macchina frigorifera è quindi dato da: ������ ������=������ ASS | ������| =������ 1 | ������ 1+������ 2| Questo si può esprimere in funzione delle temperature ricordando che per un ciclo reversibile vale: ������ 1 ������1 +������ 2 ������2 = 0 ⟹ ������ 2 ������1 = −������ 2 ������1 Allora: ������ ������=1 �1+������ 2 ������1� =1 �1−������ 2 ������1� =������ 1 ������2− ������ 1 Problema 3 Si veda un testo di teoria di riferimento.