logo
  • userLoginStatus

Welcome

Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors.
Please disable your ad blocker to continue.

Current View

Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

Second partial exam

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Seconda prova in itinere – 7 luglio 2017 Problema 1 Una fune ideale ha un capo fissato in un punto e si avvolge attorno a una carrucola cilindrica di massa M e raggio R che può muoversi in un piano verticale (vedi figura). Sull’altro capo della fune agisce una forza F diretta verso l’alto come in figura. All’asse della carrucola, tramite un’altra fune ideale, è collegato un corpo di massa m. Assumendo che la fune non scivoli sulla carrucola, si calcoli: a) l’intensità F* della forza applicata alla fune affinché il sistema rimanga in equilibrio; b) l’accelerazione del corpo di massa m se l’intensità della forza F applicata alla fune è pari a 2F*; c) l’energia cinetica E C della carrucola dopo che la forza F del punto precedente ha agito per un tempo ∆t, ipotizzando il sistema inizialmente in equilibrio. Problema 2 a) Si enunci e si dimostri la legge di variazione della pressione in un fluido in equilibrio in presenza di una generica forza esterna di volume F V. b) Si dimostri come a partire da essa sia possibile ricavare la legge di Stevino. Si commenti opportunamente il significato di entrambe le leggi. Problema 3 a) In un recipente adiabatico (di volume V 0 = 25 ℓ) è contenuto idrogeno (H 2) alla pressione p 0 = 10 5 Pa. Il gas, supposto come ideale, è compresso in maniera reversibile fino a dimezzarne il suo volume. Si calcoli il lavoro ℒ subito dal gas durante questo processo. b) Si consideri ora una macchina termica che opera in maniera irreversibile a contatto con due serbatoi di calore alle temperature T 1 = 250 K e T 2 = 500 K. Sapendo che tale macchina in ogni ciclo produce lo stesso lavoro ℒ (in modulo) calcolato al punto precedente e che durante ogni ciclo si ha un aumento dell’entropia dell’universo ΔS U = 4 J/K, si calcoli il rendimento della macchina termica. M R m F Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Soluzione Problema 1 a) Una volta individuate le forze che agiscono sul sistema, in condizioni di equilibrio deve risultare: ������������� ∗− ������������′ 1=0 ������������ 1+������������ 1′− ������������������������−������������ 2=0 ������������ 2−������������ Risolvendo il sistema si ottiene: ⎩⎪⎨ ⎪⎧������������∗=1 2 ( ������������+������������) ������������ ������������ 1=1 2 ( ������������+������������) ������������ ������������ 2=������������������������ b) Nel caso in cui ������������=2������������ ∗=( ������������+������������) poich� le due forze agiscono su un punto privo di massa. Il momento d�inerzia del cilindro � dato da: ������������ CM =1 2 ������������ ������������ 2 mentre risulta: ������������ CM =������������, ������������=������������ ������������ Usando queste informazioni per risolvere il sistema precedente, si ottiene: ������������� 2= ������������������������+������������������������ ������������ 1+������������ 1′= ( ������������+������������) ������������+( ������������+������������) ������������ ������������ 1′− ������������ 1=1 2 ������������������������ quindi 2������������ 1′= ( ������������+������������) ������������+�������������+3 2 ������������ ������������� Poiché ������������ 1′= ������������=( ������������+������������) ������������, l’accelerazione risulta: ������������=������������ +������������ ������������+3 2 ������������ ������������ c) L’energia cinetica in un moto di roto-traslazione è data da: M R m F T’ 1 T1 T2 T’ 1 T2 mg Mg x Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 ������������C=1 2 ������������ ������������ CM2 + 1 2 ������������CM ������������2 Poiché l’accelerazione trovata nel punto precedente è costante, risulta: ������������ CM =������������ CM ∆������������=������������∆������������, ������������=������������∆������������=������������ ������������ ∆������������ L’energia cinetica è quindi data da: ������������ C=1 2 ������������ ������������ 2∆������������ 2+1 2 �1 2 ������������ ������������ 2������������� 2 ������������2∆ ������������ 2=1 2 ������������ ������������ 2∆������������ 2+1 4 ������������ ������������ 2∆������������ 2=3 4 ������������ ������������ 2∆������������ 2= =3 4 ������������( ������������+������������) 2 ������������� +3 2 ������������ � 2������������2∆������������ 2 Problema 2 a) La trasformazione che avviene è un’adiabatica reversibile. Il lavoro si può calcolare sfruttando il primo principio della termodinamica: ℒ=−∆������������=−������������������������ V∆������������=−5 2 ������������������������ ( ������������ 1−������������ 0) =−5 2 ( ������������ 1������������1−������������ 0������������0) =5 2 ������������0������������0� 1−������������ 1������������1 ������������0������������0 � dove abbiamo sfruttato il fatto che l’idrogeno molecolare H 2 è un gas biatomico. Poiché la trasformazione è adiabatica reversibile, si ha anche: ������������ 0������������0������������ = ������������ 1������������1������������ c on ������������=75 ⁄ . Allora: ������������ 1 ������������0 =������������� 0 ������������1 � ������������ = 2 ������������ dato che ������������ 0=2������������ 1. Il lavoro risulta: ℒ=5 2 ������������0������������0� 1−2 ������������ 2� =5 2 ������������0������������0( 1−2 ������������−1 ) =−2 kJ b) Il rendimento di una macchina termica si può calcolare come: ������������=ℒ ������������ ASS dove ℒ=2 kJ e il calore ������������ ASS è assorbito dal serbatoio a temperatura T 2. Per una macchina ciclica, la variazione dell’entropia dell’universo è data dalla variazione dell’entropia dell’ambiente. In questo caso l’ambiente è formato da due serbatoi di calore che scambiano le quantità di calore -Q 1 e -Q 2 alle temperature T 1 e T 2, rispettivamente: ∆������������ U=∆������������ AMB =− ������������ 1 ������������1 +− ������������ 2 ������������2 Poiché la trasformazione è ciclica, per il primo principio della termodinamica vale: ℒ=������������ 1+������������ 2 ⇒ ������������ 1=ℒ−������������ 2 Possiamo quindi ricavare ������������ 2 sostituendo nell’equazione dell’entropia: ∆������������ U=− ℒ+������������ 2 ������������1 +− ������������ 2 ������������2 ∆������������ U+ℒ ������������ 1 =������������ 2 ������������1 −������������ 2 ������������2 ������������ 1∆������������ U+ℒ=������������ 2�1−������������ 1 ������������2 � ������������ 2=( ������������ 1∆������������ U+ℒ)������������ 2 ������������2− ������������ 1 =6 kJ Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Ingegneria Matematica 083024 - FISICA SPERIMENTALE I - a. a. 2016/2017 Quindi il rendimento risulta: ������������=ℒ ������������ 2 =2 kJ 6 kJ =33.3%