Mathematical Engineering - Fisica Sperimentale 1

03 - Rappresentazione intrinseca della velocità e dell_accelerazione vettoriale

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In questa dispensa si vuole presentare la rappresentazione del vettore velocità e del vettore accelerazione nel cosiddetto sistema di riferimento intrinseco (quest’ultimo è un sistema di riferimento riferito alla traiettoria percorsa dal punto materiale). Se in alcuni casi infatti risulta particolarmente conveniente scomporre il moto di un punto materiale in un sistema di riferimento cartesiano (si ricordi ad esempio lo studio del moto parabolico), in altri casi risulta più conveniente utilizzare il sistema di riferimento intrinseco. E’ opportuno sottolineare che la rappresentazione del vettore accelerazione nel sistema di riferimento intrinseco è particolarmente significativa perché permette di associare un preciso significato fisico alle componenti di tale vettore. Prima di procedere con tale trattazione, vengono richiamate le principali grandezze fisiche definite in cinematica scalare e cinematica vettoriale: TRATTAZIONE SCALARE e TRATTAZIONE VETTORIALE DELLA CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE C INEMATICA SCALARE In cinematica scalare la posizione del punto materiale è definita in funzione della traiettoria percorsa dal punto stesso: nota la forma della traiettoria percorsa, su di essa si definisce un origine ed un verso di percorrenza e si risale alla conoscenza della posizione occupata dal punto materiale in ogni istante di tempo tramite la conoscenza dell’ascissa curvilinea s(t). Quest’ultima grandezza è definita come lo spazio percorso dal punto materiale sulla traiettoria rispetto all’origine scelta. Figura 1 – Rappresentazione grafica dell’ascissa curvilinea s(t) in un generico istante temporale (a sinistra) e dello spostamento scalare ∆s in un dato intervallo di tempo tra ∆t. Lo spostamento scalare ∆s in un intervallo di tempo ∆t è definito come la variazione del valore dell’ascissa curvilinea nei due istanti di tempo e quindi, da un punto di vista fisico, come lo spazio percorso sulla traiettoria tra i due istanti di P(t) Ω s(t) P(t) Ω ∆s P(t +∆t) tempo considerati. In termini infinitesimi (ossia quando l’intervallo temporale considerato è molto piccolo e approssimabile a una variazione infinitesima dt) si parla di spostamento scalare infinitesimo ds. Le grandezze cinematiche associate all’ascissa curvilinea e allo spostamento scalare sono la velocità scalare v(t), definita come la variazione nel tempo dell’ascissa curvilinea (tale grandezza dà quindi un’informazione su quanto rapidamente il punto si muove sulla traiettoria), e l’accelerazione scalare a(t), definita a sua volta come la variazione nel tempo della velocità scalare: () ()ds vt dt dv at dt = = C INEMATICA VETTORIALE E’ possibile dare una trattazione della cinematica più generale che non preveda la conoscenza a priori della traiettoria percorsa dal punto materiale. In questo caso la posizione del punto materiale è definita rispetto a un opportuno sistema di riferimento (si supponga ad esempio di considerare un sistema di riferimento cartesiano Oxyz). La posizione del punto materiale in ogni istante di tempo è definita dalla conoscenza del vettore posizione r(t), che congiunge l’origine del sistema di riferimento scelto alla posizione del punto P nello spazio (nell’ipotesi di avere scelto un sistema di riferimento cartesiano equivale a conoscere le coordinate cartesiane del punto P nello spazio). Figura 2 – Rappresentazione della posizione di un punto materiale tramite il vettore posizione r(t) definito rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano. Le grandezze cinematiche associate al vettore posizione sono la velocità vettoriale e l’accelerazione vettoriale posseduta dal punto materiale. La prima grandezza è definita come la variazione del vettore posizione nel tempo; la seconda grandezza è definita come la variazione del vettore velocità nel tempo: () ()d t dt d t dt = =r v v a    Si sottolinea che queste due ultime grandezze sono ovviamente grandezze vettoriali e la loro direzione in generale non coincide con la direzione del vettore O x y z r(t) P( t) posizione. In generale è possibile effettuare una scomposizione della velocità vettoriale e dell’accelerazione vettoriale nel sistema di riferimento cartesiano scelto. E’ però anche possibile ricavare un legame tra le grandezze cinematiche vettoriali e le corrispondenti grandezze cinematiche scalari e, in particolare, mettere in evidenza la direzione del vettore velocità e del vettore accelerazione rispetto alla direzione della traiettoria. In questo case in pratica si rappresenta il vettore velocità e accelerazione non più nel sistema di riferimento cartesiano di partenza, ma nel cosiddetto sistema di riferimento intrinseco: tale sistema di riferimento è definito in ogni istante di tempo dai versori u T e u N, rispettivamente tangente e normale (ortogonale) alla traiettoria. Per convenzione il versore tangente ha verso concorde con quello scelto come positivo sulla traiettoria, mentre il versore normale ha verso concorde con l’interno della concavità della traiettoria. Figura 3 – Sistema di riferimento intrinseco alla traiettoria: rappresentazione dei versori tangente e normale. R APPRESENTAZIONE INTRINSECA DELLA VELOCITÀ VETTORIALE Consideriamo inizialmente due istanti temporali sufficientemente distanti tra loro e valutiamo la velocità media vettoriale posseduta dal punto materiale in questo intervallo di tempo ∆t. Essa è definita da: ( ) () () MEDIA tt t t tt ∆ +∆ − ∆= = ∆∆rr r v   uT O x y z uT uN uN O x y z r(t) r(t+∆t) ∆r P( t+∆t) P( t) ∆s Figura 4 – Visualizzazione della direzione del vettore spostamento ∆r in un dato intervallo temporale ∆t. La velocità vettoriale media in tale intervallo di tempo avrà la stessa direzione e verso di ∆r. Graficamente si può osservare che il vettore velocità media, parallelo al vettore ∆r, è diretto come la retta secante che congiunge la posizione occupata dal punto materiale nei due istanti di tempo di interesse. Si può inoltre osservare che la lunghezza del vettore ∆r non coincide con la differenza di spazio percorso (ossia con lo spostamento scalare ∆s). Riducendo l’intervallo di tempo di osservazione fino a renderlo infinitamente piccolo si passa dalla definizione di velocità vettoriale media a quella di velocità vettoriale istantanea, ossia di velocità effettivamente posseduta dal punto materiale in un dato istante di tempo: 00 ( ) () () MEDIAtt tt td t Lim Lim tt dt ∆→ ∆→ ∆ +∆ − ∆= == ∆∆r r rr v    Figura 5 – Visualizzazione del vettore spostamento ∆r al diminuire dell’ampiezza dell’intervallo temporale ∆t. La direzione del vettore spostamento ∆r tende a diventare quella della retta tangente alla traiettoria. Contemporaneamente il modulo di ∆r diventa sempre più simile allo spostamento scalare ∆s. Graficamente si può osservare che al tendere di ∆t a zero, il vettore spostamento ∆r (esprimibile in termini infinitesimi come dr) risulta diretto come la retta tangente alla traiettoria nell’istante considerato e che la sua lunghezza tende ad approssimare sempre meglio lo spostamento scalare ∆s (anche quest’ultimo più correttamente va indicato come spostamento scalare infinitesimo ds). Quindi lo spostamento vettoriale infinitesimo può essere espresso come: dr=dsu T e ne consegue che la velocità vettoriale istantanea risulta pari a: ()ds d ds tv dt dt dt = = = = T TTu r vuu        (equazione 1) ossia la velocità vettoriale risulta essere un vettore diretto in direzione come la tangente alla traiettoria e di intensità pari alla velocità scalare v (pari a ds/dt) O x y z r(t) r(t+∆t) ∆r P(t+∆t) P( t) ∆s Figura 6 – Rappresentazione grafica della velocità vettoriale in diversi istanti di tempo. Si osservi che il vettore velocità risulta essere sempre tangente alla traiettoria. R APPRESENTAZIONE INTRINSECA DELL ’ACCELERAZIONE VETTORIALE In maniera del tutto analoga è possibile scomporre il vettore accelerazione nel sistema di riferimento intrinseco. Come precedentemente ricordato, il vettore accelerazione è definito come la derivata nel tempo del vettore velocità. Sfruttando il risultato dell’equazione 1 (ossia la rappresentazione intrinseca della velocità vettoriale), si può osservare che la variazione del vettore velocità può avvenire in due diversi modi: in termini di modulo (ossia in termini di velocità scalare) e in termini di direzione (ossia in termini di variazione della direzione della traiettoria). Ricordando la regola di derivazione di un prodotto si ottiene quindi: () () () ()d tdv dv dt tv dt dt dt ds tv dt =  ⇒= = +   = =   TT T TT v au du au v uu           ()dv tv dt dt ⇒= + =+ T TTN du a u aa     Quest’ultimo risultato permette di vedere come il vettore accelerazione possa essere scomposto in due componenti vettoriali: - la prima componente a T è parallela alla tangente alla traiettoria e rappresenta la variazione del modulo della velocità, ossia la variazione della velocità scalare. Nel seguito tale componente verrà chiamata accelerazione tangente; - la seconda componente a N è diretta come la derivata del versore tangente e rappresenta la variazione in direzione della velocità. Dimostreremo che questa componente ha direzione ortogonale alla traiettoria e proprio per tale motivo viene chiamata accelerazione normale. Vediamo ora di capire come può essere espressa più comodamente l’accelerazione normale: v dt = T N du a   O x y z v(t1) v(t2) v(t3) A) La direzione del vettore a N è data dalla direzione della derivata del versore tangente dt T du . E’ possibile dimostrare, sia graficamente che analiticamente, che la derivata di un versore è un vettore ortogonale al versore di partenza (si veda il corollario 1). Ne consegue che il vettore a N ha direzione ortogonale al versore tangente, ossia ha la stessa direzione del versore normale. Mettendone in luce la direzione, il vettore a N può quindi essere riscritto come: v dt = T NN du au   (equazione 2). B) Si tratta ora di capire quanto vale il modulo della variazione infinitesima del versore tangente, T du  . Si consideri il riquadro rosso di Figura 7 che mostra la rappresentazione geometrica di ������������ ������ ��������⃗=������ ������( ������+������������) ����������������������⃗− ������ ������( ������) �����������⃗. Disegnando una circonferenza di raggio unitario con centro nel punto di applicazione dei versori u T, si può notare che T du  è pari alla corda di tale circonferenza che sottende un angolo al centro dθ. Per piccoli angoli, la corda approssima molto bene l’arco di circonferenza corrispondente e risulta quindi pari al raggio (unitario) della circonferenza per l’angolo al centro dθ. Quindi T du  =dθ. Si può infine mettere dθ in relazione allo spazio percorso dal punto materiale sulla traiettoria Si disegni infatti la traiettoria seguita dal punto materiale (Figura 7) e si considerino i due istanti di tempo infinitamente vicini t e t+dt, in corrispondenza dei quali il punto materiale occupa le posizioni P(t) e P(t+dt). Il tratto ds percorso sulla traiettoria in questo intervallo di tempo è approssimabile all’arco di circonferenza di un particolare cerchio, detta cerchio osculatore (si rimanda al corollario 2 per la definizione precisa di cerchio osculatore), che sottende un angolo al centro proprio pari a dθ. Infatti il cerchio osculatore viene costruito tracciando le rette ortogonali alla traiettoria passanti per i due punti P(t) e P(t+dt), per cui l’angolo al centro considerato risulta formato da due rette mutuamente ortogonali alle direzioni di u T nei due istanti di tempo t e t+dt. Figura 7 – Rappresentazione grafica del vettore du T e del cerchio osculatore alla traiettoria. uT(t) O x y z uT(t+dt ) dθ ds uT(t) uT(t+dt ) du T dθ C ρ L’angolo dθ si può quindi vedere come ds/ρ e si può quindi concludere che ds d ϑ ρ = = T du , e, riprendendo l’equazione 2, 2 1 dsds v vv v dt dt dt ρ ρρ = = = = T N N N NN du a u u uu      2v ρ ⇒= NNau  . Si può quindi osservare che l’accelerazione normale a N è inversamente proporzionale al valore del raggio del cerchio osculatore: tale accelerazione risulta tanto maggiore quanto più è elevata la curvatura della traiettoria (dove il raggio del cerchio osculatore è piccolo), mentre si annulla nei tratti rettilinei della traiettoria (dove il raggio del cerchio osculatore tende all’infinito) Figura 8 – Rappresentazione del cerchio osculatore e del relativo raggio di curvatura in alcuni punti di una traiettoria. Si osserva che laddove la traiettoria presenta una curvatura elevata il raggio assume valore piccolo, mentre laddove la traiettoria ha una curvatura poco accentuata il raggio assume un valore più grande. In sintesi: 2 () N dv v t dt ρ ⇒ =+= + TN T a aa u u     Si ricorda di nuovo che, da un punto di vista fisico, la componente a T rappresenta la variazione del modulo della velocità, mentre la componente a N rappresenta la variazione in direzione della velocità. O x y z ρ ρ ρ COROLLARIO 1 – LA DERIVATA DI UN VERSORE È PARI UN VETTORE CON DIREZIONE ORTOGONALE AL VERSORE DI PARTENZA Sia dato un generico versore u x e si calcoli il prodotto scalare di tale versore per sé stesso: cos(0) 1 •= ⋅ ⋅ = XX X Xuu u u        Si derivino rispetto al tempo entrambi i membri di tale identità. Ricordando la regola della derivata di un prodotto, si ottiene: () ()1 0 20 dd dt dt dd dtdt d dt •= •+• =•=XX XX XX XX uu uu uu uu               L’ultimo risultato indica che il prodotto scalare tra il versore di partenza u x e la sua derivata nel tempo è pari a zero. tale situazione è possibile solo se i due vettori sono ortogonali tra loro. Quindi, come volevasi dimostrare: d dt⊥ X Xuu     COROLLARIO 2 – DEFINIZIONE DI CERCHIO OSCULATORE Per una generica traiettoria piana, la curvatura della traiettoria varia da punto a punto e viene definita tramite la costruzione del cosiddetto cerchio osculatore. Il cerchio osculatore in un dato punto della traiettoria è il cerchio tangente alla traiettoria e che possiede la stessa derivata seconda della traiettoria nel punto considerato (sinteticamente, si dice che approssima la traiettoria fino al secondo ordine). Per costruire graficamente il cerchio osculatore in un dato punto della traiettoria si può procedere in questo modo: si prende il punto di interesse sulla traiettoria e un punto, sempre sulla traiettoria, molto vicino ad esso (teoricamente andrebbe preso infinitamente vicino). Si tracciano le due rette ortogonali alla traiettoria passanti per i due punti considerati. Le due rette si intersecheranno in un punto C che rappresenta il centro del cerchio osculatore. Il raggio del cerchio osculatore è poi semplicemente pari alla distanza di C dal punto di interesse sulla traiettoria. Figura 9 – Rappresentazione grafica della costruzione del cerchio osculatore O x y z C ρ P( t) P( t+dt)