Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

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Nome e Cognome: Numero di matricola: Esame Finanza Matematica I, 21 giugno 2019 Nota: I risultati degli esercizi contrassegnati con l'asterisco debbono essere riportati nel testo del compito. Occorre consegnare tutto (testo e fogli su cui sono svolti i calcoli) 1)a) Rappresenta matematicamente la frontiera dei portafogli in presenza diNtitoli rischiosi e uno privo di rischio. b) Verica che, ser f6 =A=C, esiste un portafoglio tangentewe tra questa frontiera e quella con soli titoli rischiosi. c) Nel casor f< A=C descrivi il portafoglio di frontiera avendo a riferimento il portafoglio tangente we e quello privo di rischiow0 . 2)Dimostra l'APT in assenza di rischio idiosincratico (glinel modello fattoriale sono identica- mente uguali a zero). 3)a) Presenta matematicamente il VaR di un titolo il cui rendimento è distribuito come una variabile casuale normale. b) Perché il VaR non è una misura coerente di rischio? Fornire un esempio. c) Sotto quali condizioni il VaR è una misura coerente di rischio? Dimostrare l'aermazione. 4)* Considera un'economia in quattro istanti di tempo (t= 0;1;2;3), un titolo rischioso carat- terizzato nella sua evoluzione da un albero binomiale:S(0) = 1,u= 1:04; d= 0:97trat= 0et= 3 e un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :02 (B(0) = 1). a) Determina gli state prices int= 0. Risposta[; ; ;]. b) Determina int= 0il prezzo di non arbitraggio di un'opzione europea call e di una put con scadenza int= 3e strike price1:05. Risposta:[C all E= ; P ut E= ] . c) Costruisci il portafoglio (unità di titoli) di replica dell'opzione put trat= 0et= 1. Risposta:[x bond= ; x stock= ] . d) Determina il prezzo di non arbitraggio int= 0dell'opzione americana put con strike price1:05. Risposta:[P ut A= ] . 5)* Dal lato del passivo considera uno zero coupon bond, valore nominale pari a100con scadenza T1= 5 . Dal lato dell'attivo considera un coupon bond con scadenzaT 2= 4 , cedola annuale pari a 2e un coupon bond con scadenzaT 3= 7 cedola annuale pari a3. Valore nominale pari a100per tutti e due i titoli. Struttura di tassi di interessi piatta con yield ratey= 0:03(capitalizzazione esponenziale). a) Determina il portafoglio immunizzato dei due titoli all'attivo secondo Fisher e Weil. Risposta:[w 2= ; w 3= ] . 1/ 2 Nome e Cognome: Numero di matricola: b) Valuta la variazione del valore del portafoglio con al passivo il primo titolo e all'attivo il secondo e il terzo con pesi(1=2;1=2)al primo ordine a seguito di una variazione dello yield rate pari ay=0:01. Risposta:[
= ] c) Commenta il risultato al punto b) rispetto al punto a). Risposta: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6)* Dati tre titoli con rendimenti attesie= (1:04;1:06;1:10)e matrice varianza-covarianza V=2 6 40 :06 0:04 0:08 0:04 0:08 0:03 0:08 0:03 0:123 7 5 la cui inversa èV 1 =2 6 4870 240520 240 80 140 520 140 3203 7 5 a) Determina la frontiera dei portafogli. Risposta:g> = [ ]; h> = [ ]. - Determina i portafogli di frontiera con rendimento atteso pari a1:15. Risposta:[w> 1= ; w> 2= ; w> 3= ] ,. - Eliminando il secondo titolo, quale è la perdita in termini di varianza del portafoglio sulla frontiera con rendimento atteso1:15passando da tre a due titoli? Risposta:
var= [ ] . 2/ 2