Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

Full exam

Esame Finanza Matematica I 4 febbraio 2019 Tempo a disposizione: 2h 30m 1)Dati due titoli rischiosi con rendimenti attesie= (1:03;1:06) e matrice varianza- covarianza V=" 0:08 0:05 0:05 0:1# a) Determina il portafoglio a varianza minima globale. b) Determina i due portafogli di frontiera nel caso di varianza pari a 0:2. c) Determina il portafoglio a varianza minima nel caso in cui i titoli abbiano covarianza pari a0:05. Compara i due portafogli (quello al punto a) e commenta il risultato. 2)Dati i rendimenti dei due titoli rischiosi dell'esercizio 1 con la covarianza originaria, una ricchezza iniziale pari ax= 1 ed un titolo privo di rischio con rendimento pari ar f= 1 :01, a) Determina il portafoglio tangente e il suo rendimento atteso, b) Nel caso di funzione di utilita' esponenziale con coeciente assoluto di avversione al rischio a, determina tale valore in modo tale che il rendimento atteso del portafoglio ottimo sia pari a 1:04 (sfrutta il fatto che il portafoglio ottimo e' una combinazione lineare del portafoglio tangente e del titolo privo di rischio). c) Per quali valori diail portafoglio ottimo prevede un investimento nel portafoglio tangente inferiore ad 1? 3)Dal lato del passivo considera un coupon bond con scadenzaT a= 6, cedole annuali pari a 2 e valore nominale pari a 100 e uno zero coupon bond con scadenzaT b= 9 e valore nominale pari a 100. Dal lato dell'attivo considera due coupon bonds di valore nominale 100, scadenzaT c= 3 e T d= 8, cedole annuali pari a 3. Struttura di tassi di interessi piatta con yield ratey= 0:01 (capitalizzazione esponenziale). a) Determina i prezzi dei quattro bonds, come varia il valore del portafoglio tramite l'approssimazione al primo ordine se il tasso diviene pari ay= 0:03? Commenta il risultato. b) Veri ca se il portafoglio (1;1;1;1) soddisfa le condizioni di immunizzazione di Red- ington. c) Quale e' la variazione del portafoglio a seguito della variazione di tasso di cui sopra? Commenta il risultato. 4)Considera un'economia in quattro istanti di tempo (t= 0;1;2;3), un titolo rischioso caratterizzato nella sua evoluzione da un albero binomiale:S(0) = 1,u= 1:07; d= 0:94 trat= 0 et= 2 eu= 1:04; d= 0:97 trat= 2 et= 3, e un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :02. a) Determina int= 0 il prezzo di non arbitraggio di un'opzione put e di una call europea con scadenza in t= 3 e strike price 0:99. b) Determina il portafoglio Delta-hedged int= 0 dei due titoli derivati. c) Veri ca che il valore di mercato del portafoglio di replica dei due titoli e' pari al loro prezzo. 5)Dati due titoli con rendimenti attesie= (1;1) e matrice varianza-covarianza V=" 0:12 0:05 0:05 0:16# nell'ipotesi di rendimenti logaritmici giornalieri distribuiti come una variabile casuale nor- male i.i.d. e ricchezza iniziale pari a 1: a) Determina il VaR e l'expected shortfall ad un giorno del portafoglio (1=2;1=2) all'1%. b) Confronta il VaR di cui al punto a) con quello dei due titoli; commenta il risultato rispetto al punto a). c) Determina il VaR e l'expected shortfall ad un giorno del portafoglio (1=2;1=2) all'1% nel caso in cui la covarianza tra i due titoli sia pari a0:04; commenta il risultato rispetto al punto a). 6)Illustra i principali strumenti di politica monetaria e come questi in uenzano l'andamento dell'economia reale.