Mathematical Engineering - Finanzia Matematica I

Full exam

Esame Finanza Matematica I 7 settembre 2018 Tempo a disposizione: 2h 30m 1)Dati tre titoli con rendimenti attesie= (1:01;1:03;1:06) e matrice varianza-covarianza V=2 6 40 :08 0:03 0:06 0:03 0:12 0:1 0:06 0:1 0:163 7 5 a) Determina i portafogli di frontiera che hanno varianza pari a 0:1. b) Veri ca che il portafoglio (1=2;1=4;1=4) sia di frontiera, in caso negativo determina il portafoglio di frontiera con il medesimo rendimento atteso. c) Determina il portafoglio a varianza minima per i titoli originari e nel caso in cui i titoli abbiano covarianza nulla. Compara i due portafogli e commenta il risultato. 2)Dati i rendimenti dei primi due titoli rischiosi dell'esercizio 1, una ricchezza iniziale pari ax= 1 ed un titolo privo di rischio con rendimento pari ar f= 1, a) Determina il portafoglio tangente e il suo rendimento atteso, b) Nel caso di funzione di utilita' esponenziale con coeciente assoluto di avversione al rischio a, determina tale valore in modo tale che il rendimento atteso del portafoglio ottimo sia pari a 1:05 (sfrutta il fatto che il portafoglio ottimo e' una combinazione lineare del portafoglio tangente e del tiolo privo di rischio). c) Per quali valori diail portafoglio ottimo prevede un investimento nel portafoglio tangente superiore ad 1? 3)Data la matrice dei dividendi D=2 6 43 2 1 1 3 2 2 4 53 7 5 e il vettore dei prezziq> = (1:85;3; k): a) Determina i valori dikche non permettono opportunita' di arbitraggio. b) Postok= 2:85 determina la misura di probabilita' neutrale al rischio e il rendimento del titolo privo di rischio implicito. c) Per un valore dikche ammette opportunita' di arbitraggio determina un portafoglio che genera un arbitraggio. 4)Considera un'economia in quattro istanti di tempo (t= 0;1;2;3), un titolo rischioso caratterizzato nella sua evoluzione da un albero binomiale:S(0) = 1,u= 1:06; d= 0:95 tra t= 0 et= 2 eu= 1:02; d= 0:98 trat= 2 et= 3, e un titolo privo di rischio dal rendimentor f= 1 :01. a) Determina int= 0 il prezzo di non arbitraggio di un'opzione put e di una call europee con scadenza int= 3 e strike price 0:95. Veri ca se la put-call parity. b) Determina int= 0 il prezzo di non arbitraggio di un'opzione put americana con strike price 0:95. c) Determina int= 0 il prezzo di non arbitraggio di un'opzione asiatica: (S(3)S (0)+S(1)+S(2)+S(3)4 )+ . 5)Dati due titoli con rendimenti attesie= (1;1) e matrice varianza-covarianza V=" 0:1 0:05 0:05 0:22# nell'ipotesi di rendimenti logaritmici giornalieri distribuiti come una variabile casuale nor- male i.i.d. e ricchezza iniziale pari a 1: a) Determina il VaR e l'expected shortfall ad un giorno del portafoglio (1=4;3=4) all'1%; commenta il risultato. b) Determina il VaR e l'expected shortfall ad un giorno del portafoglio (3=4;1=4) all'1%; commenta il risultato rispetto al punto a). c) Determina il VaR e l'expected shortfall ad un giorno del portafoglio (1=4;3=4) all'1% nel caso in cui la covarianza tra i due titoli sia pari a0:06; commenta il risultato rispetto al punto a). 6)Dal lato del passivo considera uno zero coupon bond, valore nominale pari a 100 con scadenzaT 1= 7. Dal lato dell'attivo considera un coupon bond con scadenza T 2= 4, cedola annuale pari a 3 e un coupon bond con scadenzaT 3= 8 cedola annuale pari a 4. Valore nominale pari a 100 per tutti e due i titoli. Struttura di tassi di interessi piatta con yield ratey= 0:03 (capitalizzazione esponenziale). a) Determina la duration del primo e del secondo ordine dei tre titoli. b) Determina il portafoglio immunizzato dei due titoli all'attivo secondo Fisher e Weil. c) Valuta la variazione del valore del portafoglio con al passivo il primo titolo e alll'attivo il secondo e il terzo con pesi (1=2;1=2) al primo ordine a seguito di una variazione dello yield rate pari ay= +0:1. Commenta il risultato rispetto al punto a).