Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica21 Gennaio 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Si consideri un campione casualeX 1; :::; X nestratto da una legge con la seguente densita di probabilita: f(x;) =x 2 e x 1 (0;1)( x); con parametro reale >0 incognito. (a) Determinareb M LE, simatore di massima verosimiglianza per : (b) Determinared () M LE, stimatore di massima verosimiglianza per () = 1 . (c) Determinare la legge did () M LE. (d) Dimostrare ched () M LEe asintoticamente eciente e consistente per (). (e) Costruire un intervallo di con denza asintotico di livello 1per(). 1 Esercizio 2 SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con la seguente densita di probabilita: f(xj) = 2 2x 31 (;1)( x);  >0: (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianzab per; (b) Si calcoli la densita di probabilita dib ; (c) Si trovi la regione critica di livello2(0;1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d'ipotesi: H0: = 0vs H 1: 6 = 0,  0> 0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di con denza perdi livello (1); (e) Utilizzando la quantita pivotaleQ=b =, trovare la costantec >0 anche l'intervallo di con denza (0;b c) persia di livello (1). 2 Esercizio 3 Un gruppo di ingegneri ambientali e interessato a valutare i fattori che possono determinare l'inquinamento dell'aria. Per raggiungere questo obiettivo gli ingegneri raccolgono i dati delle centraline ecologiche collocate ai lati della strada. In particolare, gli ingegneri scelgono come misurazione dell'inquinamento dell'aria la concentrazione diN O 2(diossido di azoto) espresso in g=m3 , mentre le altre variabili misurate sono: altitudine standardizzata (staltitudine ); velocita del vento (windspeed inkm/h); tipo di strada (roadtype : 0 se strada poco tracata e 1 se strada molto tracata). Rispondete quindi alle seguenti domande dopo aver caricato il leairpollution.txt. (a) Eseguire un'analisi esplorativa dei dati. (b) Impostare e adattare ai dati un modello di regressione lineare per spiegare l'inquinamento dell'aria. (c) Veri care le ipotesi del modello. (d) Valutare la presenza di eventuali punti in uenti, scegliendo due metodi fra quelli visti a lezione. De-cidere se ridurre il dataset o meno. Nel caso si scelga di ridurre il dataset, si ripetano i punti (b) e (c) sul nuovo dataset. (e) Costruire un intervallo di con denza di livello 0:95 per la media della concentrazione diN O 2rilevato da una centralina posta vicino ad una strada poco tracata, velocita del vento pari a 12km/he un' altitudine (gi standardizzata) pari a 0.03. (f ) Eseguire un test d'ipotesi relativo alla velocita del vento per veri care che il coeciente associato sia maggiore di 1:1. (Speci care ipotesi nulla, alternativa, regione critica, statistica test e p-value). 3