Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica6 Luglio 2022 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Supponiamo di avere un campione i.i.d. estratto dalla popolazione avente densita fX( x;) =3 x2 3I [0;]( x);  >0: (1)Determinare lo stimatore MLEb di. (2)b e non distorto? E asintoticamente non distorto? (3)b e consistente? (4)Determinare la regione critica del test del rapporto di verosimiglianza di livelloperH 0: = 0 controH 1: 6 = 0. (5)Ricavare la funzione potenza del test appena trovato. 1 Esercizio 2. Una certa tipologia sperimentale di componente elettronico ha una durata di funzionamento dell'ordine di pochi giorni. Si sa che, se il tempo e misurato in giorni, allora la durataTha densita fT( t;) = 2t e t2 I(0;+1)( t);  >0; ma purtroppo per ragioni di segretezza non e possibile ottenere direttamente i dati riguardanti le durate. Preso un lotto dincomponenti, l'unica informazione che possiamo conoscere e il numeroKdi questi che risulteranno ancora funzionanti dopo 48 ore (2 giorni) di utilizzo. (1)Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza dip=P(la durata supera 48 ore). (2)Sulla base dei dati in nostro possesso (numero di componenti la cui durata ha superato 48 ore)determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di. (3)Nell'ipotesi che il nostro campione sia sucientemente numeroso, determinare sulla base delle infor-mazioni in nostro possesso un intervallo di condenza per. Da adesso in avanti, supponiamo di avere accesso all'intero campioneT 1; : : : ; T n, ovvero alle durate dell'intero lotto di componenti. (4)Determinare una statistica suciente, minimale e completaSper. (5)Sulla base diSe del corrispondente stimatore MLE di, determinare l'UMVUEe di. 2 Domande (1)Dare la denizione di statistica suciente per un parametroincognito di un modello parametrico ed enuniciare il criterio di fattorizzazione. (2)Dare la denizione di famiglia esponenziale e dimostrare che una v.a. Binomiale di parametri (n; ) appartiene alla famiglia esponenziale. (3)Denire la funzione potenza di un test. (4)Dare la dezione di asintotica ecienza di uno stimatore. (5)Dato un modello di regressione logistica, specicare componente aleatoria e link function utilizzata.Dare inoltre un'iterpretazione delle stime dei coecienti j. 3