Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Esercitazione 7 Teoria Asintotica

Divided by topic

Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Il tempo di risposta di un calcolatore all’input di un terminale si descrive mediante una variabile aleatoria di legge esponenziale E(✓), con ✓incognito. Si intendono misurare ntempi di risposta T1,...,T nper stimare il tempo atteso di risposta 1 /✓ e per stimare il parametro ✓. Sia Tn= 1n P ni=1 Tilo stimatore di 1 /✓. (a) Mostrare che `e uno stimatore non distorto. (b) Determinarne la legge. (c) Studiarne asintotica normalit`a, consistenza ed ecienza asintotica. Si consideri ora la stima di ✓. (d) Ricavare da 1 /Tnuno stimatore non distorto ˆ✓ndi ✓. (e) Studiarne asintotica normalit`a, consistenza ed ecienza asintotica. (f ) Costruire una regione critica di livello (approssimativamente) ↵ per sottoporre a test H0:✓= ✓0 contro H1:✓6= ✓0. (g) Si deduca da ˆ✓nuna quantit`a asintoticamente pivotale con cui costruire un intervallo di confidenza per ✓di livello (approssimativamente) . (h) Si trovi una trasformazione g:[0 ,+1)!R che stabilizzi la varianza asintotica di g(ˆ✓n), ovvero tale che la varianza asintotica di g(ˆ✓n)siaindipendenteda ✓. (i) Si proponga un intervallo di confidenza per ✓di livello (approssimativamente) costruito sulla base di g(ˆ✓n). Si confronti tale intervallo di confidenza con quello ottenuto al punto (g). Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria discreta che pu`o assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilit`a p(2) = 1 2✓, p (0) = 2 ✓, p (2) = 1 2✓. (a) Per quali ✓la funzione prisulta una densit`a? [0  ✓ 1/2] (b) Sia X1,...,X nun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densit`a pesia ˆ✓nlo stimatore di massima verosimiglianza per ✓.`E consistente? [s`ı ] Esercizio 3. Sia X1,...,X nun campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,✓],✓> 0. (a) Studiare la consistenza di X(n), stimatore di massima verosimiglianza di ✓,edi X(n)(n+ 1) /n , stimatore corretto di ✓. (b) Per l’intervallo di confidenza per ✓di livello di ampiezza minima che si pu`o costruire con la quantit`a pivotale X(n)/✓, si studi il limite di tale ampiezza per n!1 . Esercizio 4. Sia X1,...,X nuna famiglia di variabili aleatorie indipendenti e tutte distribuite secondo una legge esponenziale di media ⌧. Ciascun Xirappresenta l’istante di disintegrazione di un nucleo di un certo elemento radioattivo. Per ogni t 0 fissato, sia Yila v. a. che vale 1 se l’ i-esimo nucleo `e ancora in vita all’istante te 0 altrimenti. Si considerino i seguenti stimatori di ⌧: (1) lo stimatore di massima verosimiglianza Vnbasato sul campione Y1,...,Y n, (2) Wn= nmin {X1,...,X n}, (3) lo stimatore UMVUE Tnbasato sul campione X1,...,X n. Determinare le leggi degli stimatori (2) e (3) e si studi la normalit`a asintotica e la consistenza di tutti gli stimatori proposti. Quale scegliereste? [Vn⇠ AN( ⌧, ⌧4 t2 1et/⌧ n ) consistente; Wn⇠E (1/⌧ ) non asintoticamente normale, n´e consistente; Tn⇠ ( n, n/⌧ )⇠ AN( ⌧,⌧ 2/n ) consistente] Esercizio 5. Per n 1, sia X1,...,X nun campione casuale da una distribuzione Normale di media µ2(1 ,+1) e varianza 4. (a) Si determini se Tn= 1 ne 2 nX i=1 eXi`e uno stimatore non distorto per stimare eµ. (b) La successione di stimatori {Tn}`e consistente per stimare eµ? (c) Si studi la normalit`a asintotica di Tn. (d) Si determini ora se Wn= eXn`e consistente per stimare eµ. (e) Si studi la normalit`a asintotica di Wn. (f ) Si determini l’ecienza asintotica relativa di Tnrispetto a Wn. (g) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello (approssimativamente) 1 ↵per eµ. Esercizio 6. Sia ( X1,...,X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro > 0.Sia ⌧()= e(1 + ). Per stimare ⌧si considerino lo MLE e lo UMVUE. Stabilire se sono stimatori consistenti. Esercizio 7. Sia X1,...,X nun campione di variabili aleatorie indipendenti di densit`a beta( ✓,1), f✓(x)= ✓x ✓11(0,1)(x),✓> 0, esia ˆ✓nlo UMVUE di ✓. (a) Si mostri che ˆ✓n`e consistente, asintoticamente normale e asintoticamente eciente. (b) Si costruisca una regione critica di livello (approssimativamente) ↵per sottoporre a test H0:✓= ✓0 contro H1:✓>✓ 0.[ {ˆ✓n>✓ 0+✓0z1↵/pn}] Esercizio 8. Si consideri un campione X1,...,X ndi v. a. discrete con densit`a f✓(x)= ✓✓ 2 ◆|x| (1 ✓)1|x|1{ 1,0,1}(x). Lo stimatore di massima verosimiglianza per ✓`e consistente? Esercizio 9. Sia ( X1,...,X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro > 0.Per ngrande, determinare il test LR di livello (approssimativamente) ↵per verificare H0:= 0 contro H1:6= 0. Esercizio 10. Sia X1,...,X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ✓) con ✓> 0. Si ha quindi f(x;✓)= ✓2xex/✓ I(0,+1)(x). Sia ˆ✓nlo stimatore di massima verosimiglianza per ✓. (h) Verificate che ˆ✓n`e consistente. (i) Determinate la distribuzione asintotica di ˆ✓n. [ˆ✓n⇠ AN (✓,✓ 2/(2n))] (l) Determinate lo stimatore ˆ 2ndi massima verosimiglianza per la varianza di X1. [ˆ2n=2 ˆ✓n] (m) Determinate la distribuzione asintotica di ˆ 2n. [ˆ2n⇠ AN (2✓2,8✓4/n )] Esercizio 11. Sia X1,...,X nun campione casuale da una distribuzione con densit`a: f(x;✓)= ✓(1 x)✓1I(0,1)(x) con ✓2(0,1).Di conseguenza: E✓[X1]= 1 1+ ✓,Var ✓[X1]= ✓ (1 + ✓)2(2 + ✓). (a) Si determini lo stimatore ˆ✓nML di ✓e se ne verifichi la propriet`a di consistenza. (b) Si determini la distribuzione asintotica di ˆ✓n. (c) Si costruisca la regione critica di un test asintotico di livello ↵2(0,1) per verificare le ipotesi: H0:✓=2 vs. H1:✓6=2 . (d) Si determini, per mezzo del metodo dei momenti, lo stimatore Tndi ✓. (e) Si calcoli la distribuzione asintotica di Tn. (f ) Quanto vale ARE (Tn,ˆ✓n)? (g) Quale stimatore di ✓scegliereste quando la dimensione ndel campione `e grande? (h) Si trovi una trasformazione g:[0 ,+1)!R che stabilizzi la varianza asintotica di g(ˆ✓n), ovvero tale che la varianza asintotica di g(ˆ✓n)siaindipendenteda ✓. Esercizio 12. Sia X una variabile aleatoria a valori in (0 ,1) tale che log( X) abbia distribuzione N(µ, 1) con µparametro reale incognito. Ovvero X ha distribuzione log-normale. Per n 1,sia X1,...,X nun campione casuale dalla distribuzione di X. (a) Si calcoli la media ✓di X. [✓=exp( µ+1 /2)] (b) Si determini lo stimatore Tn= Tn(X1,...,X n) di massima verosimiglianza per ✓. [Tn=exp( P log Xi/n +1 /2)] (c) Si calcoli la distorsione di Tnper stimare ✓. [eµ+1 /2(1 e1/(2n))] (d) La successione di stimatori {Tn}`e consistente per ✓?[S`ı] (e) A partire da Tn,si determini uno stimatore Wnche sia UMVUE per ✓. [Wn=e 1/(2n)Tn] (f ) Si calcoli l’informazione di Fisher I(✓). [I(✓)= n/✓ 2] (g) Per mezzo del Metodo Delta, si determini la distribuzione asintotica di Tnequelladi Wn. [Tn⇠ AN (✓,✓ 2/n ),Wn⇠ AN (✓,✓ 2/n )] (h) Si verifichi che Wn`e asintoticamente eciente. (i) Si costruisca un intervallo di confidenza asintotico per ✓di livello 1 ↵con ↵2(0,1). [Wn±Wnz1↵/2/pn] Esercizio 13. Sia X1,...,X nun campione casuale da f(x|✓)= 1 2 ⇣ 1+ ✓x ⌘ I(1,1)(x),✓ 2[1,1]. (a) Si determini col metodo dei momenti uno stimatore b✓ndi ✓. (b) Si determini la distribuzione asintotica di b✓n. (c) Si proponga un intervallo di confidenza asintotico di livello =1 ↵per ✓. Esercizio 14. Sia Xnuna successione di variabili aleatorie e siano µn,mn,2nes2nsuccessioni numeriche. Supponiamo che per n!1 , si abbia Xn⇠ AN (µn, 2n), ( mnµn)/ n! 0e s2n⇠ 2n. Si mostri allora che Xn⇠ AN (mn,s2n). Esercizio 15. Per ✓2R,sia f✓(x)= e(x✓)I[✓,+1)(x). (a) Dopo aver disegnato un grafico qualitativo della funzione f✓,si verfichi che essa `e la densit`a di una variabile aleatoria X = Y +✓con Y ⇠E (1) (distribuzione esponenziale di parametro 1). (b) Per n 1,si determini Tnstimatore dei momenti di ✓. (c) Tn`e consistente? (d) Tn`e asintoticamente normale? (e) Per n 1,si determini ˆ✓nstimatore di massima verosimiglianza di ✓. (f ) ˆ✓n`e una statistica suciente per ✓? (g) Si verifichi che g(x;✓)= ne n(x✓)I[✓,+1)(x) `e l a d e n s i t `a d i ˆ✓ne che, di conseguenza, E✓(ˆ✓n)= 1 n+✓, Var ✓(ˆ✓n)= 1 n2. (h) ˆ✓n`e consistente? (i) Per n 1,sia Qn= ˆ✓nE✓(ˆ✓n) q Var ✓(ˆ✓n) ; mostrare che P✓(Qn 1) = 1 per qualunque valore di ✓. (l) ˆ✓n⇠ AN ⇣ E✓(ˆ✓n),Var ✓(ˆ✓n) ⌘ ? (m) Verificare che Qn`e quantit`a pivotale. (n) Trovare l’intervallo di confidenza per ✓di livello 1 ↵ 2 (0,1) costruito tramite la quantit`a Qn scegliendo quello di ampiezza minima. (o) Calcolare il limite dell’ampiezza dell’intervallo del punto precedente quando la dimensione del campione n! +1. Esercizio 16. Dato un campione casuale X1,...,X nda una distribuzione di Bernoulli B(p), si consideri V(X1,...,X n)= nXn(1 Xn)/(n1) stimatore UMVUE della varianza 2della distribuzione. (d) Mostrare che V(X1,...,X n) `e consistente per 2. (e) Determinare la legge asintotica di V(X1,...,X n). ④ xv E(e)Instimatorediko maE[Fn)=E[Ti) = È