Mathematica Engineering - Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica

Formulari : Foglio formule II parziale (fronte)

Etc

SERIE CONVERGENZA SERIE PROBABILITA' Sigma algebra Probabilità Probabilità condizionata FUNZIONE DI RIPARTIZIONE i punti di salto sono i punti in cui è concentrata la probabilità Discreta Continua Definizione 1. 2. funzione monotona non decrescente 3. funzione continua da destra Trovare la funzione di ripartizione NB Va definita si può definire anche a pezzi NB Si pone la funzione di ripartizione nulla a sinistra dell'intervallo quasi certo di definizione della VA NB Attenzione quando si cambiano le funzioni indicatrici NB 1.Scrivo la funzione 2. monotona crescente 3. monotona decrescente 4. ne crescente ne decrescente Faccio il grafico di e capisco come si comporta e poi separo i casi stando attento a dove posso prendere i valori di X e di Y Utilizzo del grafico di per trovare la funzione di ripartizione 1.Disegno la funzione 2.Associo a una probabilità calcolata con X per usare la sua funzione di ripartizione che conosco: Trovo la probabilità associata a ciascuna y tracciando una retta orizzontale sul grafico di NB Se c'è un salto sulle y la funzione di ripartizione per le y del salto rimane costante ed è uguale a quella per la y inferiore di inizio del salto DENSITA' DI PROBABILITA' Trovare la densità di probabilità NB Va definita si può definire anche a pezzi NB Attenzione quando si cambiano le funzioni indicatrici 1. con è invertibile 2. 3. VARIABILI ALEATORIE Supporto NB Bisogna specificare che la variabile aleatoria assume certi valori quasi certamente e quindi la sua immagine ha quei valori quasi certamente NB Bisogna stare attenti nel rapporto tra variabili aleatorie perché la VA a denominatore deve essere diversa da zero (questo vale più in generale per tutte le condizioni di esistenza) Uguaglianza tra funzioni Due funzioni sono uguali se lo sono per ogni valore del loro dominio Uguaglianza quasi certa Due variabili aleatorie si dicono uguali quasi certamente se sono uguali su un insieme di probabilità 1, due variabili aleatorie sono uguali quasi ovunque se sono diverse su insiemi di misura nulla NB Va verificato per ogni k nel caso discreto Funzione boreliana Ben definizione Una variabile aleatoria è ben definita quasi certamente quando valgono le sue condizioni di esistenza se prende i suoi valori in un insieme di probabilità 1 Una variabile aleatoria è ben definita quasi ovunque quando non valgono le sue condizioni di esistenza per degli insiemi di misura al più nulla Variabile aleatoria discreta con VA discreta VA discreta con VA discreta e funzione biettiva (a ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio) VA discreta Variabile aleatoria continua con VA continua VA continua Variabile aleatoria reale Variabile aleatoria semplice Parte positiva Parte negativa generalizzate non negative Costruire una variabile aleatoria Per costruire una variabile aleatoria bisogna definire spazio campionario , sigma algebra , legge di probabilità (metodo di calcolo) e l'effettiva funzione Indipendenza con misurabili con misurabili e positive Trovare la legge di distribuzione Discreta 1.Cerco la densità di probabilità discreta 2.Definisco la legge a partire dalla densità di probabilità NB Bisogna caratterizzare anche gli insiemi e "altrimenti" Continua Si trova derivando la funzione di ripartizione Quantili - moda - punti percentuali Discreta Quantili NB Non è unico Moda Continua Quantili Moda NB Se la funzione è monotona crescente la moda è all'estremo destro dell'intervallo, mentre se la funzione è monotona decrescente è all'estremo sinistro Punti percentuali VALORE ATTESO Variabile aleatoria semplice Variabile aleatoria discreta Variabile aleatoria discreta su S Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria mista Regola del valore atteso ( discreta) : a. b. Regola del valore atteso ( continua) : a. b. spazio vettoriale Convergenza monotona : Lemma di Fatou : Conv dom : Spazio delle variabili integrabili spazio vettoriale VARIANZA con Disuguaglianza di Chebyshev : VETTORI ALEATORI DISCRETI Densità di probabilità marginale = sommo tutte le probabilità congiunte degli elementi fissando il k-esimo Regola del valore atteso Indipendenza NB Se c'è un elemento nullo nella congiunta senza elementi nulli nella marginale allora le variabili non sono indipendenti Costruire un vettore aleatorio discreto Per costruire un vettore aleatorio bisogna definirne il supporto , la densità di probabilità e le componenti VETTORI ALEATORI CONTINUI Criteri per la verifica 1. 2. 3. 4. non è un vettore aleatorio continuo se si possono scrivere le sue componenti in funzione di un numero minore di componenti, perché in quel caso la misura di Lebesgue sul supporto sarebbe 0 5. 6. 7.L'applicabilità della legge di Jacobi garantisce la continuità del vettore di arrivo Trovare la densità di probabilità 1.Si definisce la funzione tale che 2.Si definisce come cambia il supporto, quindi , mettendo a sistema gli intervalli di definizione delle variabili 3.Si verifica che è invertibile sul supporto NB se le sue componenti sono 4.Allora tale che NB Il vettore di partenza deve essere continuo Densità di probabilità marginale Indipendenza NB La definizione si verifica con due intervalli e non con dei valori Regola del valore atteso a. b. COVARIANZA 
 con COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE -- per un vettore aleatorio c'è al più un elemento diverso da 0 in ogni colonna della densità congiunta TASSO DI FALLIMENTO Interpretando X come un tempo di attesa, il tasso di fallimento rappresenta la probabilità istantanea di arrivo, sapendo che l’attesa è durata fino al tempo t. FUNZIONE CARATTERISTICA Funzione caratteristica marginale Calcolo dei momenti Trasformazioni a ffini Indipendenza famiglia di VA indipendenti VETTORI ALEATORI GAUSSIANI vettore aleatorio gaussiano Proprietà 1. 2. 3. 4. assume valori in 5. 6. 7. Continuità non è un vettore aleatorio continuo (ma può essere gaussiano) Trasformazioni a ffini Indipendenza Densità di probabilità invertibile PROBABILITA' CONDIZIONATA Caso bidimensionale Caso multidimensionale con ATTESA CONDIZIONATA Regola del valore atteso Formula del doppio valore atteso Proprietà 1. se è invertibile 2. è una mappa lineare positiva 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.Convergenza monotona 11.Lemma di Fatou 12.Convergenza dominata Varianza condizionata Proprietà 1. 2. 3. 4. Covarianza condizionata CONVERGENZA DI VARIABILI ALEATORIE Convergenza quasi certa Convergenza in Convergenza in Convergenza in misurabili e limitate Proprietà 1. 2. 3. continua NB NON vale per la convergenza in 4. 5. 6. Aggiunta per la convergenza in 7. 8. 9. Criteri convergenza in legge 1. 2. 3. NB Se non ho convergenza in legge 4.Criterio di Levy 5. 6. Non convergenza La non convergenza viene dimostrata per assurdo prendendo una VA che si sa a cosa converge che ha al suo interno la VA che si sta studiando e si dimostra che è impossibile che essa converga perché non tornerebbe il limite conosciuto TEOREMI LIMITE Legge dei grandi numeri allora Corollario allora Teorema centrale del limite allora Comportamenti notevoli Velocità di convergenza allora con velocità di convergenza Asintotica normalità Metodo delta 1 1. con velocità 2. NB Non si usa il metodo delta 1 con le successioni di funzioni ma con le funzioni, in quel caso si usa Slutsky facendo somme o sottrazioni NB Se non valgono i concetti di velocità di convergenza e di asintotica normalità Stimatori CATENE DI MARKOV se e solo se 1. 2. Proprietà 1. 2. 3. 4. 5. Leggi Matrice di transizione Proprietà 1. regolare se 2. 3. Costruzione di una catena di Markov , NB Se non vale la proprietà di Markov non ho una catena di Markov NB Qualsiasi azzeramento in un punto della catena di Markov mi restituisce una nuova catena di Markov Traiettoria Variabili aleatorie Istante di primo passaggio in j Istante di primo arrivo in j probabilità di passare da j partendo da i Collegamento tra stati , i conduce a j Classificazione degli stati stato ricorrente se stato transitorio se stato assorbente se Proprietà 1. stato ricorrente 2. stato transitorio 3. stato transitorio 4. stato assorbente stato ricorrente 5. stato transitorio stato ricorrente 6., stato transitorio stato transitorio 7., stato ricorrente stato ricorrente 8. entrambi stati ricorrenti o entrambi transitori 9. almeno uno stato ricorrente Periodo Proprietà 1. 2. 3. 4. Suddivisione in classi C classe chiusa se C classe chiusa e irriducibile se C classe chiusa e irriducibile stati tutti ricorrenti, tutti con stesso periodo E irriducibile stati tutti ricorrenti, tutti con stesso periodo dove sono gli stati transitori e le classi chiuse irriducibili disgiunte Assorbimento Istante di primo arrivo nella classe chiusa C : Probabilità di assorbimento nella classe C partendo da i : Tempo medio di assorbimento nella classe C partendo da i : Proprietà 1.C classe chiusa e irriducibile stati tutti ricorrenti, tutti con stesso periodo 2.E irriducibile stati tutti ricorrenti, tutti con stesso periodo 3. dove sono gli stati transitori e le classi chiuse irriducibili disgiunte 4. NB Se 5. 6. Probabilità invariante invariante se Proprietà 1.Esiste sempre 2.j transitorio 3.E irriducibile 4. chiusa e irriducibile NB Questa formula mi serve per calcolare le infinite probabilità invarianti: Probabilità reversibile reversibile se reversibile invariante Distribuzione asintotica è distribuzione asintotica se 1.E' l'unica probabilità invariante 2. Catena irriducibile 1. invariante 2.Frequenza media tempo medio per tornare in i partendo da i 3.Media campionaria 4.Tempo trascorso in un certo stato Catena irriducibile e aperiodica 1. 2. 3. 4.Media degli stati Notazione vettore riga densità discreta su E elemento in posizione ij della matrice di transizione in n passi da i a j legge della variabile n-esima ANALISI Convergenza integrale improprio 1.Cerco i punti critici della funzione che sto integrando 2.Cerco l'asintotico di per cui punti e sfrutto il criterio del confronto o del confronto asintotico oppure confronto l'integrale con una serie Condizione necessaria nei punti critici !!k=0xkk!=ex n!k=0kxk=x1"xn (1"x)2"nxn+11"x !!k=11(k+1)=! !!k=0kxk= x(1"x)2 !!k=0xk=11"xse!x!(X$t)*+/i*: X=IA:,=:VA>A*+ Xk:,=:VA/k=1,...,n>X=(X1,...,Xn):,=:nVA Xk:,=:VA/k=1,...,n1h::n=:misurabile -h(X1,...,Xn):,=:VA X:,=:VA1X:,=:VA-X%Y,X+Y,XY,X1Y(=min),X#Y(=max)sonoVA Xk:,=:VA/k=1,...,n-supn(Xn),infn(Xn),lim supn(Xn),lim infn(Xn)sonoVA Xk:,=:VA/k*.1Xn(#)n9X(#)/#*,-XVA #Im(X)$#, SX={t*S:p(t)>0}={t*::f(t)>0} X=Y>X(#)=Y(#)/#*, Xq.c=Y>3(X=Y)=1>3(X&Y)=0>m(X&Y)=0 Xq.c=Y-X?Y X=Y-Xq.c=Y-PX=PY@X?Y@fx=fyq.o Xq.c=Y>Xkq.c=Yk/k=1,...,n h::n=:k*C0atratti(:n)-hboreliana XVAdiscretaAFXcostanteatratti XVAdiscreta>!s*DBFX(s)=1conD={s*::BF(s)=F(s)"F(s")} Xq.c=YY-XX=h(Y) Yh-XXVAcontinua>FX*C0(:)0C1atratti(:) XVAcontinua-P(X=x)=0/x*: Xq.c=YY-XY=f(X)1XVAcontinua1ftalechevaleJacobi-YVAcontinua Im(X)4: #Im(X)=nX=n!k=1xk%IAkconAk=(X=xk)*+/k=1,...,n:{Ak}nk=1partizione X+=max{X,0}=X#0 X"="min{X,0}="X10 X=X+"X" X+,X"'0-VA !X!=!X+!+!X"! ,+PXX(#)XCCY>3(X*A,Y*B)=3(X*A)%3(Y*B)/A*D/B*E XCCf(X) X,Y*L11XCCY-X%Y*L11F[XY]=F[X]%F[Y] Xq.c=X51Yq.c=Y51XCCY-X5CCY5 ;k,l:p(X,Y)(k,l)&pX(k)%pY(l)-XCCY S(X,Y)&SXGSY-XCCY XCCY-COV(X,Y)=0 XCCY>h(X)CCg(Y) h,gXCCY>F[h(X)%g(Y)]=F[h(X)]%F[g(Y)] h,gBHIm(X) !*[0,1],q!*SX:{3(X$q!)'! 3(X{3(X$q!)'! 3(X'q!)'1"! {px(k+1)$px(k) px(k"1)$px(k) F(q!)=!q!"!fX(x)dx=! ddxfX(x)=0 p!*:,!*(0,1):3(X'p!)=! F[X]=n!k=1xk%3(X=xk) F[X]=!#*,X(#)%p# F[X]=!#*SX(#)%p(#) F[X]=!:x%f(x)dx F[X]=F[Xc%I{X*Scont}+Xd%I{X*Sdisc}]=!Scontx%f(x)dx+!#*SdiscX(#)%p# XX:,=EVARdiscreta1h:E=:/[0,+!]misurabile - h(X)*L1(,,+,3)>h*L1(E,D,PX) F[h(X)]=!t*Sh(t)%p(t) XX:,=EVARcontinua1h:E=:/[0,+!]misurabile - h*L1(PX)>hfx*L1(m) F[h(X)]=!:h(t)%fx(t)dm(t) I1F[aX+bY]=aF[X]+bF[Y] X'0-F[X]'0 0$X$Y1Y*I1-X*I110$F[X]$F[Y] X'01F[X]=0-Xq.c=0 X*I1>!X!*I1 !F[X]!$F[!X!] Xq.c=Y-F[X]=F[Y] Xnsuccessione diVA,XVA:0q.c$Xnq.c$X1Xn6X -F[Xn]6F[X]@F[X]=F[limnXn]=limnF[Xn] Xnsuccessione diVAR,YVAR:Yq.c$Xnq.c$!1Y*I1 -F[lim infnXn]$lim infnF[Xn] Xnsuccessione diVAR,X,YVAR:Xnq.c9X1!Xn!q.c$Y/n1Y*I1 -Xn*I1,X*I1,F[Xn]n9F[X]>F[limnXn]=limnF[Xn] Xq.c=c,c*:-X*I1,F[X]=c F[X]>0-3(X>0)>0 F[!X!]=F[X+]+F[X"] aq.c$Xq.c$b-X*I1,a$F[X]$b 3(X=!)>0-F[X]=! Xn:,=[0,+!]VA/n-F!!n=1Xn=!!n=1F[Xn] Xn:,=:VA/n:!!n=1F[!Xn!];c:X=cq.c>;c:X?%c 3(!X"&!'a)$$2a2 $2=F[X2]"F[X]2 XVettAdiscreto >X1,...,XnVAdiscrete pk(xk)= !xi*Si,/i&kp(x1,...,xk,...,xn) X:,=:nVettAdiscreto 1h::n=:boreliana #h*L1(PX)boreliana - F[h(X)]=!,h(X)d3=!:nhdPX=!t*Sh(t)%p(t) X:,=:nVettAdiscreto 1{Xk}k=1,...,nfamiglia diVAindipendenti >p(t1,...,tn)=p1(t1)%...%pn(tn)/t1*S1,...,tn*Sn SpXVettAcontinuo -XkVAcontinua /k XVettAcontinuo -!Sf(x)dx=1 XVettAcontinuo 1{Xk}k=1,...,nfamiglia dieventi indipendenti >XkVAcontinua /k1{Xk}k=1,...,nfamiglia dieventi indipendenti XXVettAcontinuo -det(VAR(X))&0 det(VAR(X))=0-XVettAnoncontinuo h(Y1,...,Yn)=h(X1,...,Xn) S5=h(S) h*C1(S)1det(Jh(X1,...,Xn))&0/(x1,...,xn)*S-h Sh*C1(S) C1(S) ;g=h"1condet(Jg(Y1,...,Yn))= 1 det(Jh(g(X1,...,Xn))) f(Y1,...,Yn)={f(X1,...,Xn)(g(Y1,...,Yn))%!det(Jg(Y1,...,Yn))!se(Y1,...,Yn)*h(S) 0altrimenti fk(xk)=!:n"1f(x1,...,xk,...,xn)dx1...dxk"1dxk+1...dxn X:,=:nVettAcontinuo 1{Xk}k=1,...,nfamiglia diVAindipendenti >f(x1,...,xn)=f1(x1)%...%fn(xn)quasiovunque >h(x1,...,xn)=h1(x1)%...%hn(xn)quasiovunque conhk::=:funzione qualsiasi X:,=:nVettAcontinuo 1h::n=:boreliana #h*L1(PX)boreliana - h*L1(PX)>hf*L1(mn) F[h(X)]=!,h(X)d3=!:nhdPX=!:nh(X)f(x)dx COV(X,Y)=F[(X"F[X])%(Y"F[Y])]=F[XY]"F[X]F[Y] X,Y*L2 COV(X,Y)=!:2(x"F[X])(y"F[Y])%PX,Y(dx,dy) COV(X,a)=0 COV(X,Y)=COV(Y,X) XCCY-COV(X,Y)=0 COV(X,Y)=0-Xscorrelata daY COV(aX+bY,cV+dW)=acCOV(X,V)+adCOV(X,W)+bcCOV(Y,V)+bdCOV(Y,W) COV(X,X)=Var(X) COV(X,Y)$Var(X)%Var(Y) Var(X1+...+Xn)=Var(X1)+...+Var(Xn)+2!iY='Var(Y) Var(X)%X"'Var(Y) Var(X)%F[X]+F[Y] '=0>Xscorrelata daY '=0AXCCY !'!=1- hX(t)=lim(90+3(t?N(,)/a*:n X?N(&,C)1Xkindipendenti /k>Xk?N(&k,$2k)/k1Xkindipendenti /k X?N(&,C)1Rank(C)X X?N(&,C)1Y=AX+b-Y?N(A&+b,ACAT) SeX1,...,Xncongiuntamente gaussiani allora: Xkindipendenti /k>COV(Xl,Xj)=0/l&j>Cdiagonale X?N(&,C)1C -fX(t)= 1(2*)ndetC%e"1201$2Y>0-Y!X?N(&Y+'$X$Y(X"&X),$2Y(1"'2)) F[Y!X]?N(&Y,$2Y'2)) [XY]?N([&X&Y],[CXCXY CYXCY]) CYX=CTXY CXinvertibile -Y!X?N(&Y+CYX%C"1X(X"&X),CY"CYX%C"1XCXY) F[Y!X=x]=!:nt%PY!X(dy!x) F[Y!X]=!x*SXF[Y!X=x]%I(X=x) F[(Y1,Y2)!X]={F[Y1!X] F[Y2!X] F[h(Yk)!X=s]=!:nh(tk)%PY!X(dt!s)/hmisurabile ,h'0#h*L1 F[Y]=F[F[Y!X]]=8x*SXF[Y!X=x]%px(x)Xdiscreto !:F[Y!X=x]%fx(x)dxXcontinuo F[Y!X]=F[Y!h(X)] hF[Y!X] Y'0q.c-F[Y!X]'0q.c YK"misurabile -F[Y!K]=Yq.c Y=h(X)-F[Y!X]=Yq.c YCCX-F[Y!X]=F[Y]q.c Y+"misurabile 1L4K4+-F[F[Y!K]!L]=F[Y!L]q.c Y+"misurabile 1WK"misurabile 1WY*L1-F[WY!K]=W%F[Y!K]q.c Y1=Y2q.c-F[Y1!K]=F[Y2!K]q.c 0$Yn6Yq.c-F[Yn!K]6F[Y!K]q.c Yn'0q.c-F[lim infnYn!K]$lim infnF[Yn!K]q.c Yn9Yq.c1!Yn!$Vq.c1V*L1(+)-F[Yn!K]9F[Y!K]q.c Y*Lp(+)-F[Y!K]*Lp(+)/p'1 Var(Y!X=x)=!:n(y"F[Y!X=x])2%PY!X(dy!x) Var(Y!X)=F[Y2!X]"F[Y!X]2 Var(Y!X)'0q.c Var(Y)=Var(F[Y!X])+F[Var(Y!X)] Var(Y)'Var(Y!X) COV(Yk,Yl!X=s)=!:n(tk"F[Yk!X=s])(tl"F[Yl!X=s])%PY!X(dt!s) Xnq.c=X >limn9!Xn(#)=X(#)/#*A:3(A)=1 LpXnLp=X > Xn*Lp X*Lp F[!Xn"X!p]n90 3Xn3=X >/+>03(!Xn"X!>+)n=0 >F[!Xn"X! 1+!Xn"X!]n=0 I/MXnI=X >F[h(Xn)]n=F[h(X)]/h ;!limaXnq.c=aX h(Xn)q.c=h(X)/h LpXn+Ynq.c=X+Y Xn%Ynq.c=X%Y XnYnq.c=XYseYn&0/n1Y&0 LpF[!Xn!p]n=F[!X!p] F[Xpn]n=F[Xp] pXnI=X limnFXn(x)=0- XnI=X-)Xn(u)n=)X(u)/u*: )Xn(u)n=,(u)con,(u)continua inu=0-XnI=X ,(u)=)X(u)se,(0)=1 XnI=X>)Xn(u)n=)X(u)/u*: {Xn}n*.VARiid/n Xn*L11F[Xn]=&*:>Xnq.c=&1XnL1=& {Xn}n*.VARiid/n Xn*L21F[Xn]=&*:1Var(Xn)=$2>0-S2nq.c=$2 {Xn}n*.VARiid/n Xn*L21F[Xn]=&*:1Var(Xn)=$2>0 -Xn"&$/nI=N(0,1)1Xn?AN(&,$2n) Xn?-2(n)n=N(n,2n) Xn?t(n)n=N(0,1) Xn?Bi(n,p)n=N(np,np(1"p)) {Xn}n*.VAR1a*:1vnn=! Xnn=a vn>vn(Xn"a)I=TN%0 vn(Xn"a)I=N(0,q)>Xn?AN(a,qv2n) vn(Xn"a)I=T1h:B=:*C00diOerenziabile ina(*C1(a)) -vn(h(Xn)"h(a))I=h5(a)%T h5(a)&01TN%0-h(Xn)=h(a) vnh5(a)&01Xn?AN(a,qv2n)-h(Xn)?AN(h(a),h5(a)2%qv2n) h5(a)=0 Xn=1nn!k=1Xk S2n=1n"1n!k=1(Xk"Xn)2=nn"11nn!k=1X2k"X2n $p=1nn!k=1IB(Xn) Fn(t)=1nn!k=1I[Xk,!](t)=1nn!k=1I("!,t](Xk) Xt?CM(v,P) X0?v 3(Xn+1=j!Xn=i,...,X0=i0)=3(Xn+1=j!Xn=i)=pij v(n)=v(0)%Pn 3(Xn=j)=(vPn)j p(n)ij=3(Xm+n=j!Xm=i)=3(Xn=j!X0=i)=3i(Xn=j) 3(Xn1=i1,...,Xnk=ik)=!i0*Evi0%p(n1)i0i1%p(n2"n1) i1i2 %...%p(nk"nk"1) ik"1ik /k,n1,..,nk'0i1,...,ik*E 3(Xm+n=j!X0=i)=!l*E3(Xm+n=j!Xm=l)%3(Xm=l!X0=i) (Xn,Xm)n>m=pXn,Xm(i,j)=(Pn"m)ij%(v(0)%Pm)j Xm=pXm(j)=(v(0)%Pm)j ;!*-Xm?*/m pij'0/i,j*E !j*Epij=1/i*E P;n'1:p(n)ij>0/i,j*E Pregolare -Pirriducibile 1aperiodica Pirriducibile 1;i:pii>0-Pregolare -Pirriducibile 1aperiodica X0:,9EVA,X0?v,X0CCYn/n Yn:,9FVA/n*P+,Yniid h:EGF9E Xn+1=h(Xn,Yn)/n'0-{Xn}n'0?CM(v,P)conpij=3(h(i,Yn)=j) ?CM(v(n),P) 3(Xn=in,Xn"1=in"1,...,X0=i0)=v(i0)%pi0i1%...%pin"1in/i0,...,in*E/n*P+ $j=min{n'0:Xn=j} .j=min{n'1:Xn=j} 3i($j0-i9j i&j-3i($j;n'0:p(n)ij>0 i9j,j9k-i9k i3i(.i3i(Xn=iper!n)=3i(lim supn(Xn=i))=1 i>3i(Xn=iper!n)=3i(lim supn(Xn=i))=1 j-p(n)ijn=0/i*E i-ii>;j:i9j9i ii9jj-ii9ji-iiQj-i,j ;d(i)=MCD{n'1:p(n)ii>0} iQj-d(i)=d(j) iaperiodico -d(i)=1 iperiodico -d(i)'2 pii>0-iaperiodico i*C1i9j-j*C i,j*C-iQj --E=ET2C12...2Ck ETCn.C=min{n'1:Xn*C} 3i(.C0/j*E ;!/C*Cj=!i*C*Ci%pij/j*C *=!*C1+(1"!)*C2/!*(0,1) **i%pij=*j%pji *-**v(n)n=* ;!**iQFi[.i]*i=1Fi[.i]/i*E 1n+1n"1!k=0h(Xk)n=!i*Eh(i)%*iq.c/h:E=: 1n+1n"1!k=0I{i}(Xk)n=*iq.c/i*E p(n)ijn=*i/j*E v(n)n=* F[h(Xn)]n=!i*Eh(i)%*i F[Xn]n=!i*Ei%*i 3i(A)=3(A!X0=i) 3i,n(A)=3(A!Xn=i) **i'01!i*i=1 (Pn)ij=p(n)ij Xn?v(n) v(n)i=3(Xn=i) n!k=0fk(x0)k!%(x"x0)k+o((x"x0)n+1) !x3e"axdx="e"axa[x3+3ax2+6a2(x+1a)] !x2e"axdx="e"axa[x2+2a(x+1a)] !1x2±a2dx=±1aarctan(xa) eiu=cos(u)+isin(u) f(x)f(x)90 3(Y$y1)=3(x1$X$x2)=F1(x2)"F1(x1) 3(Y$y2)=3(X$x3)=F1(x3) 3(Y$y3)=3(X$x4)=F1(x4) 3(Y$y4)=3(X$x5)=F2(x5) 3(Y$yintervallo)=3(X$x4)=F1(x4) 3(Y$y1)=3(0$X$x1)+3(X'x2)=F1(x1)"F1(0)+1"F1(x2) 1 RICORDARE DI SCRIVERE CHE SI ASSUME PROBABILITA' UNIFORME 2 SE CI SONO PARAMETRI NON DATI VERIFICARE CHE I RISULTATI CHE SI OTTENGANO NON SIANO DIVERSI A SECONDA DEL PARAMETRO (NB INTEGRALI) 3 PUO' ESSERCI UN ESERCIZIO IN CUI SI USA IL CALCOLO COMBINATORIO PER DEFINIRE QUAL E' LA PROBABILITA' UNIFORME 4 USARE TAYLOR ALL'ORDINE GIUSTO, QUELLO A CUI NON SI SEMPLIFICANO TUTTI I TERMINI 5 ATTENZIONE ALLE SUCCESSIONI NON E' SCONTATO IL CALCOLO DI VALOR MEDIO E VARIANZA SE NON SONO iid J(f(x))= Jf1(x)Jx1Jf1(x)Jx2...Jf1(x)Jxn Jf2(x)Jx1Jf2(x)Jx2...Jf2(x)Jxn ... ......... Jfm(x)Jx1 ......Jfm(x)Jxn =Rf1(x) Rf2(x)...Rfm(x) Serve per calcolare le funzioni di ripartizione con la probabilità condizionataDiventa una sommatoria nel caso discretoMetodo di rappresentazioneDiventa una sommatoria nel caso discretoDiventa una sommatoria nel caso discretoConverge tranne nei punti di discontinuità della FC classe chiusa DISTRIBUZIONI NOTEVOLISupportoFunzione di densitàFunzione di ripartizione---- Descrive l'estrazione senza reinserimento di alcune palline vincenti o perdenti da un'urna n = numero di palline totali h = numero di palline del tipo che voglio estrarre r = numero di estrazioni che faccioX!"(n,r,h) !np(1#p) $(X=x)=(nx)px%(1#p)n#x $(X=x)=e#!%!xx! $(X=k)=(hk)(n#hr#k) (nr) {0,1,..., n} k&'(k)n#1 Serie di n esperimenti di Bernoulli con probabilità pX!Bi(n,p) p{0,1}Var Testa o croce con moneta non truccataX!Be(p) *f(x)={ 1b#ax&[a,b] 0altrimenti Esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verifica un numero λ = modellizza un conteggio di eventiX!P(!) F(x)="(k2,t2) +(k2) f(x)=xk2#1e#x2 2k2%+(#)%I(0,+,)(x) 2k F(x)="(#,$t) +(#) =1###1!k=0e#$t%($t)kk! I(0,+,)(t) kf(x)=$#x##1e#$x +(#) %I(0,+,)(x) -#$2 Somma di k gaussiane standard indipendentiX!%2(k)=+(k2,12) #$[0,+,) e2&+'2(e'2#1) X!+(#,$) +(#+1)=#+(#) +(n+1)=n! +(1)=1 +(1/2)=( *[Xk]=#(#+1)...(#+k#1) $k e&+'22 '2F(x)=1#e#!x%I(0,+,)(x) f(x)=!%e#!x%I(0,+,)(x) f(x)= 1 2('2%e#(x#&)2 2'2 F(x)=)(x#&') f(y)= 1 y2('2%e#(lny#&)2 2'2 Serie di n esperimenti X!N(&,'2) !, #,ae#bx2+cx+d=a(b%ec24b+d 1![0,+,) (b#a)2 12 Tempo prima di un evento X!.(!) P(X>t+s!X>s)=P(X>t) /t,s&- a+b2[a,b]&- n2#112 continua Numeri randomX!U(a,b) a+b21#pp2F(k)=1#(1#p)k $(X=x)=p%(1#p)n#k F(k)=(1#p)n#k#1 $(X=x)=1n/x F(y)=)(lny#&' ) X!Gtraslata (p) X=n#YconY!G(p) F(k)=kn -1#pp2Y=eX:X!N(&,'2) discreta Numeri random o estrazione senza reimmissione di elementi da un gruppo di n elementiX!U(a,b) 1!2n#1p &F(x)= 0xb '$(X=x)=p%(1#p)x#1 np $(x=1)=p $(x=0)=1#p p(1#p) -{a,...,b} 1p'+h(n#h)r(n#r) n2(n#1) Tentativi prima del primo successo in una serie di Bernoulli con probabilità p X!G(p) P(X>t+s!X>s)=P(X>t) /t,s&' rhn max{0,r+k#n})k k)min{r,h} !Trasformazioni lineari distribuzioniBernoulliBinomialePoissonGeometricaEsponenzialeNormaleGamma X!N(&x,'2x)(Y!N(&y,'2y)(X00Y 1X±Y!N(&x±&y,'2x+'2y) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!.(!k) 1min{X1,...,Xn}!. {Xk}k&'(Xk!P(!k) 1!kXk!P(!k!k) e {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!Be(p) N!P(!) 1N!k=1Xk!P(!%p) X!+(#,$)(Y!+(",$)(X00Y 1X+Y!+(#+",$) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!.(!)/k 1X1+...+Xn!+(n,!) X!G(p1)(Y!G(p2)(X00Y 1min(X,Y)!G(p1+p2#p1p2) e X!B(n1,p)eY!B(n2,p) X00Y 1X±Y!B(n1+n2,p) X!+(#,$)(Y=cX,c>0 1Y!+(#,$c) X!.(!1)(Y!.(!2)(X00Y 1min(X,Y)!.(!1+!2) {Xk}k&'famiglia diVAindipendenti (Xk!G(!k) 1min{X1,...,Xn}!G {Xk}nk=1famiglia diVAindipendenti (Xk!Be(p) 1n!k=1Xk!B(n,p) Xk!*(!)iid 1!Xk!+(n,!) Con reimmissioneSenza reimmissioneSimultaneaSpazio campionarioEvento "Ottengo h elementi di tipo 1 sui k estratti"Ordine non conta Senza reimmissione #2=(Nk) Ordine conta Senza reimmissione #2= N! (N#k)! Modi di disporsi Ordine non conta Senza ripetizione Scelte Ordine conta Con reimmissione #M=(kh) #S=#tipoh1%#tipok#h1 Ordine conta Con reimmissione #2=Nk Modi di disporsi Scelte Ordine non conta Senza reimmissione #M=1 #S=(#tipo1h)%(#tipo2 k#h) #A=#M%#S Modi di disporsi Ordine non conta Senza ripetizione Scelte Ordine conta Senza reimmissione #M=(kh) #S= #tipo1! (#tipo1#h)!% #tipo2! (#tipo2#(k#h))! n numero di elementi k numero di postiReimmissione con ripetizioniNO reimmissione senza ripetizioniPermutazione Ordine conta n = kDisposizione Ordine conta n ≠ kCombinazione Ordine non conta n ≠ kn! (n#k)! nkn! r ripetizioni di ogni n n! r1!r2!...rn! (nk)= n! k!(n#k)! (n+k#1k ) N = numero elementi totali #tipo = numero di elementi di quel tipo degli N k = numero di elementi estratti h = numero di elementi di quel tipo da estrarreEstrazione simultanea di k elementi di tipo 1 su n estratti senza reimmissioneEstrazione simultanea di k elementi di tipo 1 su n estratti simultaneamente (nk)( #tipo1 #tipo1+#tipo2) k ( #tipo2 #tipo1+#tipo2) n#k (#tipo1k)(#tipo2 n#k) (#tipo1+#tipo2 n ) 1 MANTENERE LO STESSO METODO DI CALCOLO (FORMULA) PER IL CALCOLO DELLO SPAZIO CAMPIONARIO E DEGLI EVENTI 2 RICORDARSI DI RIEMPIRE ANCHE I POSTI NON RICHIESTI ESPLICITAMENTE (RIEMPIRE TUTTI I POSTI DATI)AnalisiRisultati notevoli Bernoulli Ek=33esce 6alkesimo lancio 33 $(,6)=$(limsupn4,Ek)=$(5,n=1(6k7nAk))={5,n=1Bn8B Bn=6k7nAk}= =limn4,$(6k7nEk)=limn4,[1#$(5k7nEck)]=1#limn4,$(5k7nEck)= =1#limn4,"k7n$(Eck)=1 $(sempre 6)=$(solo6)=$(5,k=1Ek)=$(limn4,5nk=1Ek)=limn4,$(5nk=1Ek)= =limn4,n"k=1$(Ek)=0 $(,6,6c)=$(limsupn4,En5limsupn4,ECn)=$(limsupn4,En5(liminfn4,En)c)= =$(limsupn4,En)#$(limsupn4,En5liminfn4,En)={limsupn4,En9liminfn4,En}= =$(limsupn4,En)#$(liminfn4,En)=1#0=1 $(mai6)=$(5,k=1Eck))$(5nk=1Eck)1$(maiEk)=limn4,n"k=1$(Eck)=0 $(primi 106)=$(E1,...,E10,5,k=1Eck)=$(E1,...,E10)%limn4,n"k=1$(Eck)=0 $(6dauncerto punto inpoi)=$(liminfn4,En)=0 $(esattamente 10volte 6))$(liminfn4,Ecn)=0 $(almeno 10volte 6)7$(limsupn4,En)=1 $(almeno 1volta 6)=1#$(nessun 6)71#$(5,k=1Ek)=1#$(limn4,5nk=1Ek)= =1#limn4,n"k=1$(Ek)=1#0=1 liminfnXn(+)=liminfn+n={0 se+k=0per,k 1se+k=0peralpiuunnumero finito dik limsupnXn(+)=limsupn+n={1 se+k=1per,k 0se+k=1peralpiuunnumero finito dik Data una successione di insiemi e un elemento esso appartiene al limite inferiore se e solo se tale che per tutti gli . Quindi il limite inferiore consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di insiemi di , e che quindi appartengono definitivamente alla successione . Data una successione di insiemi e un elemento esso appartiene al limite superiore se e solo se tale che . Quindi il limite superiore consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della successione un'infinità di volte, quindi non in tutti ma in un numero infinito di essi. lim infn4,An=6,n=1(5k7nAk) An+:k*&' +&Ak n>k* AnAnlim supn4,An=5,n=1(6k7nAk) An+/k&':n>k +&Ak Anlim supn4,An=lim infn4,An=limn4,An lim infn4,An;lim supn4,An (lim supn4,An) c=lim infn4,Acn0 B*[G]