Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Analisi e Geometria 1 COMPITO ADocenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli13/07/2009 Ing. IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti.Informazioni importanti: 1) Si deve consegnare solo la presente scheda. 2) Durata della prova: 2h. 3) Svolgere in dettaglio sia gli esercizi che le dimostrazioni dei teoremi nei rispettivi riquadri. 4) Chi si ritira prima della ne dello scritto deve consegnare la scheda e la brutta copia. 5) Durante la prova scritta e consentito tenere soltanto le penne. 6) E vietato comunicare durante la prova scritta. 7) Ci si deve presentare alla prova scritta muniti di un documento d'identita. 8) La prova verra annullata a chiunque contravverra alle regole stabilite sopra.1. Siano assegnati i punti P(0;0;1) eQ(1;2;4). Determinare: 1) le equazioni parametriche della retta passante perPe perQ, 2) l'equazione del piano passante perQe ortogonale alla rettaQP. 1 2. Studiare la funzione f(x) =x2 2 arctanx2 : Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il gra co e riportare i calcoli.Dominio di f:Limiti agli estremi del dominio: Asintoti: f 0Segno di f0 :Punti di massimo e minimo: f 00 :Zeri di f00 e deduzione dei punti di esso: 2 3. Data la linea in forma parametrica P(t) = (x(t); y(t); z(t)) dove x(t) =t; y(t) =t2 ; z(t) =t2 + sin(t2 1); t2R; determinare l'equazione del piano osculatore oscnel punto relativo a t= 1. 3 4. Calcolare il seguente integrale inde nito I=Z exe x= 2 +ex= 3dx: 4 5. Dimostrare il teorema della permanenza del segno. 5 Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Analisi e Geometria 1 COMPITO BDocenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli13/07/2009 Ing. IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti.Informazioni importanti: 1) Si deve consegnare solo la presente scheda. 2) Durata della prova: 2h. 3) Svolgere in dettaglio sia gli esercizi che le dimostrazioni dei teoremi nei rispettivi riquadri. 4) Chi si ritira prima della ne dello scritto deve consegnare la scheda e la brutta copia. 5) Durante la prova scritta e consentito tenere soltanto le penne. 6) E vietato comunicare durante la prova scritta. 7) Ci si deve presentare alla prova scritta muniti di un documento d'identita. 8) La prova verra annullata a chiunque contravverra alle regole stabilite sopra.1. Siano assegnati i punti P(0;0;1) eQ(1;2;5). Determinare: 1) le equazioni parametriche della retta passante perPe perQ, 2) l'equazione del piano passante perQe ortogonale alla rettaQP. 6 2. Studiare la funzione f(x) = 2 arctanx2 x2 Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il gra co e riportare i calcoli.Dominio di f:Limiti agli estremi del dominio: Asintoti: f 0Segno di f0 :Punti di massimo e minimo: f 00 :Zeri di f00 e deduzione dei punti di esso: 7 3. Data la linea in forma parametrica P(t) = (x(t); y(t); z(t)) dove x(t) =t2 ; y(t) =t; z(t) =t2 + sin(t2 1); t2R; determinare l'equazione del piano osculatore oscnel punto relativo a t= 1. 8 4. Calcolare il seguente integrale inde nito I=Z exe x= 2 ex= 3dx: 9 5. Dimostrare il teorema di Rolle. 10 SOLUZIONI 11 Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Analisi e Geometria 1 COMPITO ADocenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli13/07/2009 Ing. IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti.Informazioni importanti: 1) Si deve consegnare solo la presente scheda. 2) Durata della prova: 2h. 3) Svolgere in dettaglio sia gli esercizi che le dimostrazioni dei teoremi nei rispettivi riquadri. 4) Chi si ritira prima della ne dello scritto deve consegnare la scheda e la brutta copia. 5) Durante la prova scritta e consentito tenere soltanto le penne. 6) E vietato comunicare durante la prova scritta. 7) Ci si deve presentare alla prova scritta muniti di un documento d'identita. 8) La prova verra annullata a chiunque contravverra alle regole stabilite sopra.1. Siano assegnati i punti P(0;0;1) eQ(1;2;4). Determinare: 1) le equazioni parametriche della retta passante perPe perQ, 2) l'equazione del piano passante perQe ortogonale alla rettaQP. Soluzione I parametri direttori della rettar P Qsono: a= 10 = 1,b= 20 = 2,c= 41 = 3 quindir P Q: x(t) =x Q+ at= 1 +t; y(t) =y Q+ bt= 2 + 2t; z(t) =z Q+ ct= 4 + 3t: Il piano ortogonale e dato daa(xx Q) + b(yy Q) + c(zz Q) = 0 da cui1(x1) + 2(y2) + 3(z4) = 0: 12 2. Studiare la funzione f(x) =x2 2 arctanx2 Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il gra co e riportare i calcoli.Dominio di f: Dominio dif=R, Simmetria:fe pari.Limiti agli estremi del dominio: lim x!1f (x) = +1:Asintoti: NON ESISTONO dato che fx2 perx! 1f 0 (x) = 2xx 4 1x 4 + 1Segno di f0 : f0 (x)0se e solo se1x0e1x:Punti di massimo e minimo: xmin= 1; x max= 0 ; x min= 1 :f 00 = 2x 8 + 8x4 1( x4 + 1)2Zeri di f00 e deduzione dei punti di esso: x8 + 8x4 1 = 0; x F= 4 qp 17 4 compatibili con i max e min.13 3. Data la linea in forma parametrica P(t) = (x(t); y(t); z(t)) dove x(t) =t; y(t) =t2 ; z(t) =t2 + sin(t2 1); t2R; determinare l'equazione del piano osculatore oscnel punto relativo a t= 1. Soluzionex0 (t) = 1; y0 (t) = 2t; z0 (t) = 2t+ 2tcos(t2 1) x00 (t) = 0; y00 (t) = 2; z00 (t) = 2 + 2 cos(t2 1)4t2 sin(t2 1); da cui si ottiene P(1) = (1;1;1); P0 (1) = (1;2;4); P00 (1) = (0;2;4); il piano osce 2yz1 = 0: 14 4. Calcolare il seguente integrale inde nito I=Z exe x= 2 +ex= 3dx: Soluzione Poniamoex =t6 da cui si haex dx= 6t5 dt. I=Z 6t5t 3 +t2dt = 6Z t3 + 1t + 1 1t + 1dt = 6[t 33 t 22 + t]6 ln[t+ 1] +C; dove t=ex= 6 : 15 5. Dimostrare il teorema della permanenza del segno. 16 Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Analisi e Geometria 1 COMPITO BDocenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli13/07/2009 Ing. IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti.Informazioni importanti: 1) Si deve consegnare solo la presente scheda. 2) Durata della prova: 2h. 3) Svolgere in dettaglio sia gli esercizi che le dimostrazioni dei teoremi nei rispettivi riquadri. 4) Chi si ritira prima della ne dello scritto deve consegnare la scheda e la brutta copia. 5) Durante la prova scritta e consentito tenere soltanto le penne. 6) E vietato comunicare durante la prova scritta. 7) Ci si deve presentare alla prova scritta muniti di un documento d'identita. 8) La prova verra annullata a chiunque contravverra alle regole stabilite sopra.1. Siano assegnati i punti P(0;0;1) eQ(1;2;5). Determinare: 1) le equazioni parametriche della retta passante perPe perQ, 2) l'equazione del piano passante perQe ortogonale alla rettaQP. Soluzione I parametri direttori della rettar P Qsono: a= 10 = 1,b= 20 = 2,c= 51 = 4 quindir P Q: x(t) =x Q+ at= 1 +t; y(t) =y Q+ bt= 2 + 2t; z(t) =z Q+ ct= 4 + 4t: Il piano ortogonale e dato daa(xx Q) + b(yy Q) + c(zz Q) = 0 da cui1(x1) + 2(y2) + 4(z4) = 0: 17 2. Studiare la funzione f(x) = 2 arctanx2 x2 Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il gra co e riportare i calcoli.Dominio di f: Dominio dif=R, Simmetria:fe pari.Limiti agli estremi del dominio: lim x!1f (x) =1:Asintoti: NON ESISTONO dato che f x2 perx! 1f 0 (x) =2xx 4 1x 4 + 1Segno di f0 : f0 (x)0se e solo se1x0e1x:Punti di massimo e minimo: xmax= 1; x min= 0 ; x max= 1 :f 00 =2x 8 + 8x4 1( x4 + 1)2Zeri di f00 e deduzione dei punti di esso: x8 + 8x4 1 = 0; x F= 4 qp 17 4 compatibili con i max e min.18 3. Data la linea in forma parametrica P(t) = (x(t); y(t); z(t)) dove x(t) =t2 ; y(t) =t; z(t) =t2 + sin(t2 1); t2R; determinare l'equazione del piano osculatore oscnel punto relativo a t= 1. Soluzionex0 (t) = 2t; y0 (t) = 1; z0 (t) = 2t+ 2tcos(t2 1) x00 (t) = 2; y00 (t) = 0; z00 (t) = 2 + 2 cos(t2 1)4t2 sin(t2 1); da cui si ottiene P(1) = (1;1;1); P0 (1) = (2;1;4); P00 (1) = (2;0;4); il piano osce 2xz1 = 0: 19 4. Calcolare il seguente integrale inde nito I=Z exe x= 2 ex= 3dx: Soluzione Poniamoex =t6 da cui si haex dx= 6t5 dt. I=Z 6t5t 3 t2dt = 6Z t3 1t 1+ 1t 1dt = 6[t 33 + t 22 + t] + 6 lnjt1j+C; dove t=ex= 6 : 20 5. Dimostrare il teorema di Rolle. 21