Metodi Analitici e Numerici per L'Ingegneria

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scopo di questo corso è quello di introdurre i principali strumenti matematici e numerici per l'analisi e l'approssimazione di alcuni problemi tipici dell'Ingegneria Meccanica ed Energetica. Dopo aver introdotto concetti e tecniche fondamentali del calcolo numerico, si introducono le metodologie sia analitiche che numeriche per risolvere classi di problemi differenziali che emergono tipicamente nell'ambito della applicazioni della ingegneria meccanica ed energetica, come il calcolo delle deformazioni in semplici strutture monodimensionali, il calcolo delle frequenze proprie di alcuni sistemi meccanici, piuttosto che l'analisi termica di semplici travi, pilastri.

1: Fondamenti di calcolo numerico: Concetti di base del calcolo numerico: cenni all’aritmetica floating-point. Metodi numerici in algebra lineare: metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari (metodo di eliminazione di Gauss, fattorizzazione LU, pivoting, algoritmo di Thomas, stabilità e accuratezza della soluzione); metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari (metodi di Richardson, gradiente e gradiente coniugato, metodi precondizionati, accuratezza, condizioni per la convergenza e criteri d’arresto); metodi per l’approssimazione degli autovalori (metodi delle potenze e potenze inverse con shift). Metodi numerici per equazioni non lineari: il metodo della bisezione, il metodo di punto fisso, il metodo di Newton, il metodo di Newton modificato e loro proprietà; il caso vettoriale. Metodi numerici per l’interpolazione di dati e funzioni: interpolazione polinomiale, semplice e composita e le spline cubiche, approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Metodi per l'integrazione numerica: formule composite del punto medio, del trapezio e di Simpson, formule di quadratura Gaussiane, grado di esattezza e ordine di convergenza delle formule di quadratura.
2: Problemi differenziali di tipo ellittico. Studio dell’equazione di Laplace e di Poisson: problemi ben posti, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin, esistenza e unicità della soluzione, principio del massimo, separazione delle variabili per soluzioni su rettangoli e dischi. Cenni di Analisi Funzionale. Formulazione variazionale. Lemma di Lax Milgram. Risoluzione numerica del problema di Poisson tramite il metodo di Galerkin, proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Spazi discreti agli Elementi Finiti, proprietà del metodo degli Elementi Finiti, stime dell’errore e accuratezza. Formulazione algebrica del metodo degli Elementi Finiti per problemi di diffusione-trasporto-reazione, ruolo e trattamento delle condizioni al bordo. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica.
3: Equazioni evolutive. Il teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy e sue proprietà. Trasformata di Laplace e applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie: metodi ad un passo per equazioni del prim'ordine (metodi di Eulero, Crank-Nicolson e Heun), metodi di Runge-Kutta. Consistenza, zero-stabilità, convergenza, assoluta stabilità. Estensione ai sistemi. Metodi numerici per equazioni differenziali del second’ordine (metodo di Leap-Frog). L'equazione del calore: soluzione fondamentale, principio del massimo, esistenza ed unicità per problemi di Cauchy-Dirichlet/Cauchy-Neumann, metodo dell'energia, separazione di variabili, richiami sulla serie di Fourier. Risoluzione con il metodo degli elementi finiti e theta-metodo, proprietà di convergenza e stabilità. Equazione delle onde: cenni. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica.