Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Synthetic program:

l'obiettivo del Corso e' quello di introdurre alcuni metodi numerici per la risoluzione di problemi ingegneristici di interesse applicativo, sviluppando, al tempo stesso, un sufficiente spirito critico in vista del loro utilizzo. Questo obiettivo verra' perseguito affiancando alle lezioni teoriche delle esercitazioni svolte in laboratorio informatico e basate sull'uso di MATLAB o Octave. I temi trattati nel Corso sono raggruppabili nelle seguenti sei categorie: algebra lineare numerica; soluzione numerica di equazioni e sistemi non lineari; approssimazione di funzioni e di dati; integrazione e derivazione numerica; equazioni differenziali ordinarie; problemi ai valori al bordo. Verra' inoltre fornita una introduzione alle equazioni differenziali a derivate parziali, che tocchera' sia aspetti teorici che di approssimazione numerica. Per ciascuno di queste categorie verranno infine forniti da un lato i corrispondenti elementi di programmazione, dall'altro alcuni esempi applicativi di interesse ingegneristico.

1. Utilizzo del calcolatore nel Calcolo Numerico ed elementi di programmazione in MATLAB. Aritmetica finita di un calcolatore; rappresentazione floating-point dei numeri reali; epsilon macchina; problemi legati all'uso dell'aritmetica floating-point; i diversi tipi di errore nel processo computazionale; costo computazionale di un algoritmo. Programmazione in MATLAB, assegnazione di numeri e definizione di variabili; costruzione di vettori e matrici; principali operazioni scalari e vettoriali; cicli condizionati e non condizionati; rappresentazione grafica di una funzione; functions built-in; definizione di funzioni; il comando inline e gli m-files; lettura e scrittura su file; misura dell'elapsed time; l'help di MATLAB; alcune regole di buona programmazione; la fase di debugging.

2. Soluzione di sistemi lineari. Regola di Cramer, limiti e costo computazionale. Metodi diretti; fattorizzazione LU di una matrice; condizioni per l'esistenza e l'unicità della fattorizzazione LU; metodo di eliminazione di Gauss; metodo delle sostituzioni in avanti e all'indietro; pivoting per righe; pivoting totale; soluzione di un sistema tridiagonale e algoritmo di Thomas; fattorizzazione di Cholesky; stabilità di un sistema lineare e numero di condizionamento di una matrice; accuratezza della soluzione di un sistema lineare al calcolatore; implementazione della fattorizzazione LU e algoritmo di Thomas per un sistema di ordine n; il comando backslash in MATLAB; calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice tramite fattorizzazione LU; sistemi sovradeterminati, fattorizzazione QR. Metodi iterativi: costruzione di un generico metodo iterativo; metodi di Jacobi e Gauss-Seidel; il metodo di Richardson nelle sue varianti stazionario e dinamico, precondizionato e non precondizionato; risultati di convergenza; metodi del gradiente e del gradiente coniugato; implementazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, di Richardson e del gradiente; criteri d'arresto per schemi iterativi e loro qualità.

3. Calcolo di autovalori e autovettori. Metodi delle potenze dirette e inverse, con e senza shift; metodo QR; condizioni di applicabilità dei metodi e proprietà di convergenza; criteri di localizzazione geometrica degli autovalori; implementazione dei metodi delle potenze dirette ed inverse e metodo QR.

4. Calcolo di zeri di equazioni e sistemi non lineari. Metodo di bisezione; metodi di Newton; metodo delle iterazioni di punto fisso; zeri e punti fissi; proprietà di convergenza dei metodi; criteri d’arresto e loro proprietà; metodi di Newton e iterazioni di punto fisso per sistemi di equazioni non lineari; implementazione dei metodi di bisezione, Newton e punto fisso; il comando MATLAB fsolve.

5. Approssimazione di funzioni e di dati. Limiti dello sviluppo in serie di Taylor; interpolazione polinomiale semplice (forma di Lagrange); errore di approssimazione; i comandi MATLAB polyfit e polyval; il fenomeno di Runge; stabilità del polinomio interpolante; interpolazione semplice sui nodi di Chebyshev; interpolazione trigonometrica (cenni); interpolazione polinomiale composita; il comando Matlab interp1; funzioni spline; il comando MATLAB spline; retta di regressione, polinomio approssimante nel senso dei minimi quadrati.

6. Derivazione numerica. Differenze finite in avanti, all’indietro e centrate per l’approssimazione della derivata prima di funzione; differenze finite centrate per l’approssimazione della derivata seconda.

7. Integrazione numerica. Approssimazione di integrali definiti mediante le formule di quadratura di Newton-Cotes; grado di esattezza e ordine di convergenza; derivazione, interpretazione geometrica e principali proprietà delle formule di quadratura del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson, in forma semplice e composita; formule di quadratura di tipo Gaussiano; implementazione delle formule di quadratura di Newton-Cotes; verifica sperimentale dei corrispondenti ordini di accuratezza e gradi di esattezza.

8. Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy: richiamo dei principali risultati di esistenza e unicità della soluzione, stabilità di Liapunov; schemi numerici a un passo: Eulero in avanti, all'indietro, Crank-Nicolson; metodo di Heun; schemi espliciti e impliciti; accuratezza, consistenza e convergenza; zero-stabilità; assoluta stabilità condizionata e incondizionata, regioni di assoluta stabilità; metodi di Runge-Kutta; metodi multistep (cenni); soluzione di sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine; theta-metodo; equazioni differenziali del secondo ordine (cenni); implementazione dei metodi di Eulero, Crank-Nicolson e Heun; esempi e applicazioni a modelli fisici (sistema massa-molla-smorzatore).

9. Equazioni ai valori al bordo ed equazioni alle derivate parziali. Equazioni alle derivate parziali: classificazione, problemi ben posti e unicità della soluzione (cenni), esempi. Problema di Poisson 1D; approssimazione numerica con uno schema alle differenze finite; trattamento delle condizioni al contorno di Dirichlet e Neumann; problemi di diffusione-trasporto-reazione; approssimazione di problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante; implementazione del metodo alle differenze finite e soluzione numerica per equazioni ai valori al bordo 1D. Il problema di Poisson in 2D; schema alla differenze finite a 5 punti per l’operatore di Laplace. Problemi ai valori al bordo e iniziali; l’equazione del calore nel caso 1D; approssimazione con differenze finite e theta-metodo; implementazione e soluzione numerica. Introduzione al metodo degli Elementi Finiti per il problema di Poisson 1D; forma debole delle equazioni; metodo di Galerkin; approssimazione con Elementi Finiti.